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エルミート多項式

説明

エルミート多項式^{Hermite Polynomial}は、下記のように様々な方式で定義される。

微分方程式の解として

以下のエルミート微分方程式の解をエルミート多項式と定義する。

$$y^{\prime \prime} -2xy^{\prime} +2ny=0,\quad n=0,1,2,\cdots$$

ロドリゲスの公式

次の関数 $H_{n}$をエルミート多項式とする。

$$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }e^{-x^{2}}$$

これをロドリゲスの公式と言う。一方、上の関数は物理学者のエルミート多項式と呼ばれ、下の形式は確率論者のエルミート多項式と呼ばれる。

$$H_{e_{n}} := (-1)^{n} e^{{x^2} \over {2}} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{- {{x^2} \over {2}}}$$

説明

定義により、$H_{n}$は多項「関数」だが、慣習的にエルミート「多項式」と呼ばれる。これは韓国語だけでなく、英語表現もpolynomial functionではなくHermite polynomialである。

最初のいくつかのエルミート多項式は下記の通り。

$$\begin{align*} H^{0}(x) &= 1 \\ H^{1}(x) &= 2x \\ H^{2}(x) &= 4x^{2}-2 \\ H^{3}(x) &= 8x^{3}-12x \\ H^{4}(x) &= 16x^{4}-48x^{2}+12 \\ H^{5}(x) &= 32x^{5}-160x^{3}+120x \\ &\vdots \end{align*}$$

性質

直交性

エルミート多項式は区間$(-\infty, \infty)$で重み関数 $w(x)=e^{-x^{2}}$に対して直交する。(リンク)

$$\braket{ H_{n} | H_{m} }_{e^{-x^{2}}} =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx=\sqrt{\pi}2^{n}n!\delta_{nm}$$

再帰関係

エルミート多項式は、次のような再帰関係を満たす。(リンク)

$$\begin{align*} H_{n}^{\prime}(x) &= 2nH_{n-1}(x) \\ H_{n+1}(x) &= 2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x) \\ &= 2xH_{n}(x)-H_{n}^{\prime}(x) \nonumber \end{align*}$$

生成関数

エルミート多項式の生成関数は、以下の通り。(リンク)

$$\Phi (x,t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n}= e^{2xt-t^{2}}$$