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エルミート多項式 📂関数

エルミート多項式

説明

エルミート多項式Hermite Polynomialは、下記のように様々な方式で定義される。

微分方程式の解として

以下のエルミート微分方程式の解をエルミート多項式と定義する。

y′′−2xy′+2ny=0,n=0,1,2,⋯ y^{\prime \prime} -2xy^{\prime} +2ny=0,\quad n=0,1,2,\cdots

ロドリゲスの公式

次の関数 HnH_{n}をエルミート多項式とする。

Hn(x)=(−1)nex2dndxne−x2 H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }e^{-x^{2}}

これをロドリゲスの公式と言う。一方、上の関数は物理学者のエルミート多項式と呼ばれ、下の形式は確率論者のエルミート多項式と呼ばれる。

Hen:=(−1)nex22dndxne−x22 H_{e_{n}} := (-1)^{n} e^{{x^2} \over {2}} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{- {{x^2} \over {2}}}

説明

定義により、HnH_{n}は多項「関数」だが、慣習的にエルミート「多項式」と呼ばれる。これは韓国語だけでなく、英語表現もpolynomial functionではなくHermite polynomialである。

最初のいくつかのエルミート多項式は下記の通り。

H0(x)=1H1(x)=2xH2(x)=4x2−2H3(x)=8x3−12xH4(x)=16x4−48x2+12H5(x)=32x5−160x3+120x⋮ \begin{align*} H^{0}(x) &= 1 \\ H^{1}(x) &= 2x \\ H^{2}(x) &= 4x^{2}-2 \\ H^{3}(x) &= 8x^{3}-12x \\ H^{4}(x) &= 16x^{4}-48x^{2}+12 \\ H^{5}(x) &= 32x^{5}-160x^{3}+120x \\ &\vdots \end{align*}

性質

直交性

エルミート多項式は区間(−∞,∞)(-\infty, \infty)で重み関数 w(x)=e−x2w(x)=e^{-x^{2}}に対して直交する。(リンク)

⟨Hn∣Hm⟩e−x2=∫−∞∞e−x2Hn(x)Hm(x)dx=π2nn!δnm \braket{ H_{n} | H_{m} }_{e^{-x^{2}}} =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx=\sqrt{\pi}2^{n}n!\delta_{nm}

再帰関係

エルミート多項式は、次のような再帰関係を満たす。(リンク)

Hn′(x)=2nHn−1(x)Hn+1(x)=2xHn(x)−2nHn−1(x)=2xHn(x)−Hn′(x) \begin{align*} H_{n}^{\prime}(x) &= 2nH_{n-1}(x) \\ H_{n+1}(x) &= 2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x) \\ &= 2xH_{n}(x)-H_{n}^{\prime}(x) \nonumber \end{align*}

生成関数

エルミート多項式の生成関数は、以下の通り。(リンク)

Φ(x,t)=∑n=0∞Hn(x)n!tn=e2xt−t2 \Phi (x,t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n}= e^{2xt-t^{2}}