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ラグール微分方程式の直列解法 📂微分方程式

ラグール微分方程式の直列解法

定義

次の微分方程式をラゲールLaguerre微分方程式と呼ぶ。

xy′′+(1−x)y′+ny=0,n=0,1,2,⋯ xy^{\prime \prime}+(1-x)y^{\prime}+ny=0,\quad n=0,1,2,\cdots

説明

ラゲール微分方程式の解をラゲール多項式と呼び、最初の数個のラゲール多項式は以下の通りである。

L0(x)=1L1(x)=−x+1L2(x)=12(x2−4x+2)L3(x)=16(−x3+9x2−18x+6)⋮ \begin{align*} L_{0}(x) &= 1 \\ L_{1}(x) &= -x+1 \\ L_{2}(x) &= \frac{1}{2}\left( x^{2}-4x+2 \right) \\ L_{3}(x) &= \frac{1}{6}\left( -x^{3}+9x^{2}-18x+6 \right) \\ \vdots & \end{align*}

方程式を解くために式を見ると、x=0x=0の時y′′y^{\prime \prime}の係数P(x)=xP(x)=xが00であるため、x=0x=0は特異点であり、下の式を満たすためx=0x=0は正則特異点である。

lim⁡x→0x1−xx=1<∞,lim⁡x→0x2nx=0<∞ \lim \limits_{x\rightarrow 0} x \frac{1-x}{x}=1<\infty,\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{2}\frac{n}{x}=0 < \infty

従ってフロベニウス方法を使用する。

解答

xy′′+(1−x)y′+λy=0 xy^{\prime \prime}+(1-x)y^{\prime}+\lambda y=0

上のようなラゲール微分方程式の解を以下のような級数と仮定する。

y=∑n=0∞anxn+r y= \sum \limits _{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+r}

微分方程式に代入するためにy′y^{\prime}、y′′y^{\prime \prime}を求めるとそれぞれ以下の通りである。

y′=∑n=0∞(n+r)anxn+r−1y′′=∑n=0∞(n+r)(n+r−1)anxn+r−2 \begin{align*} y^{\prime} &= \sum \limits _{n=0}^{\infty} (n+r)a_{n}x^{n+r-1} \\ y^{\prime \prime}&= \sum \limits _{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-2} \end{align*}

これを微分方程式に代入すると ∑n=0∞(n+r)(n+r−1)anxn+r−1+∑n=0∞(n+r)anxn+r−1−∑n=0∞(n+r)anxn+r+λ∑n=0∞anxn+r=0 \sum \limits _{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-1}+ \sum \limits _{n=0}^{\infty} (n+r)a_{n}x^{n+r-1} - \sum \limits _{n=0}^{\infty} (n+r)a_{n}x^{n+r} +\lambda \sum \limits _{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+r}=0

xxの次数をn+rn+rに合わせるために最初の2つの級数のインデックスを変えると以下のようになる。

∑n=−1∞(n+r+1)(n+r)an+1xn+r+∑n=−1∞(n+r+1)an+1xn+r−∑n=0∞(n+r)anxn+r+λ∑n=0∞anxn+r=0 \sum \limits _{n=-1}^{\infty}(n+r+1)(n+r)a_{n+1}x^{n+r}+ \sum \limits _{n=-1}^{\infty} (n+r+1)a_{n+1}x^{n+r} - \sum \limits _{n=0}^{\infty} (n+r)a_{n}x^{n+r} +\lambda \sum \limits _{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+r}=0

これでn=−1n=-1の項を外に出し、級数を一つにまとめると

r(r−1)a0+ra0+∑n=0∞[(n+r+1)(n+r)an+1+(n+r+1)an+1−(n+r)an+λan]xn+r=0 r(r-1)a_{0}+ra_{0}+\sum \limits _{n=0}^{\infty} \left[ (n+r+1)(n+r)a_{n+1}+(n+r+1)a_{n+1}-(n+r)a_{n}+\lambda a_{n} \right]x^{n+r}=0

この式が成立するためには全ての項の係数が00でなければならないので以下の条件を得る。

r(r−1)a0+ra0=0  ⟹  r2a0=0  ⟹  r=0 \begin{align*} && r(r-1)a_{0}+ra_{0} &= 0 \\ \implies && r^{2}a_{0} &= 0 \\ \implies && r &= 0 \end{align*}

級数内の係数も00でなければならないので、r=0r=0を代入すると以下のような再帰式を得る。

(n+1)nan+1+(n+1)an+1−nan+λan=0  ⟹  (n+1)2an+1=(n−λ)an  ⟹  an+1=n−λ(n+1)2an \begin{align*} && (n+1)na_{n+1}+(n+1)a_{n+1}-na_{n}+\lambda a_{n} &= 0 \\ \implies && (n+1)^{2}a_{n+1} &= (n-\lambda)a_{n} \\ \implies && a_{n+1} &= \frac{n-\lambda}{(n+1)^{2}}a_{n} \end{align*}

従って、n=1n=1以上の係数は全てa0a_{0}で表せる。順番に求めると以下のようになる。

a1=−λa0a2=1−λ22a1=λ(λ−1)22a0a3=2−λ32a2=−λ(λ−1)(λ−2)32⋅22a0⋮an=(−1)nλ(λ−1)⋯(λ−n+2)(λ−n+1)n2(n−1)2⋯22a0 \begin{align*} a_{1} &= -\lambda a_{0} \\ a_{2} &= \frac{1-\lambda}{2^{2}}a_{1}=\frac{\lambda (\lambda - 1)}{2^{2}}a_{0} \\ a_{3} &= \frac{2-\lambda}{3^{2}}a_{2}=-\frac{\lambda (\lambda-1)(\lambda-2)}{3^{2}\cdot2^{2}}a_{0} \\ \vdots & \\ a_{n} &= (-1)^{n}\frac{\lambda (\lambda -1)\cdots (\lambda-n+2)(\lambda-n+1)}{n^{2}(n-1)^{2}\cdots 2^{2}}a_{0} \end{align*}

従って、微分方程式の解は以下のような級数で表される。

y=a0[1−λx+λ(λ−1)4x2−λ(λ−1)(λ−2)36x3+⋯ ] y= a_{0}\left[ 1-\lambda x +\frac{\lambda (\lambda-1)}{4}x^{2} -\frac{\lambda (\lambda-1)(\lambda-2)}{36}x^{3}+\cdots\right]

この時、定数λ\lambdaが非負の整数であれば級数解が有限項の多項式になることがわかる。我々は発散しない解を求めることが目標なので、非負のλ\lambdaに対するラゲール微分方程式の解をLλ(x)L_{\lambda}(x)と表そう。すると、各λ\lambdaに対する解は以下の通りである。

L1(x)=a0L1(x)=a0(1−x)L2(x)=a0(1−2x+12x2)L3(x)=a0(1−3x+32x2−16x3)⋮ \begin{align*} L_{1}(x) &= a_{0} \\ L_{1}(x) &= a_{0}(1-x) \\ L_{2}(x) &= a_{0}\left( 1-2x + \frac{1}{2}x^{2} \right) \\ L_{3}(x) &= a_{0} \left( 1-3x+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{6}x^{3}\right) \\ \vdots & \end{align*}

a0a_{0}を11として、最高次の係数が±1\pm 1になるように整理すると

L1(x)=1L1(x)=−x+1L2(x)=12(x2−4x+2)L3(x)=16(−x3+9x2−18x+6)⋮ \begin{align*} L_{1}(x) &= 1 \\ L_{1}(x) &= -x+1 \\ L_{2}(x) &= \frac{1}{2}\left( x^{2}-4x+2 \right) \\ L_{3}(x) &= \frac{1}{6}\left( -x^{3}+9x^{2}-18x+6 \right) \\ \vdots & \end{align*}

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