limn→∞nn=1 \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 n→∞limnn=1
limn→∞1nn=1 \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1 n→∞limnn1=1
nn\sqrt[n]{n}nn 代わりに lnnn\ln \sqrt[n]{n}lnnn の極限を求めるのが簡単だ。
limn→∞lnnn=limn→∞lnnn \lim\limits_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} n→∞limlnnn=n→∞limnlnn
∞∞\dfrac{\infty}{\infty}∞∞ 形だから、ロピタルの定理 によって、
limn→∞lnnn=limn→∞1n1=limn→∞1n=0 \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n}}{1} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 n→∞limnlnn=n→∞lim1n1=n→∞limn1=0
だから、
limn→∞lnnn=0 ⟹ limn→∞nn=1 \lim\limits_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{n} = 0 \implies \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 n→∞limlnnn=0⟹n→∞limnn=1
2番目の式も同じ方法で証明できる。
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