ヤコビのセータ関数
定義
次のように定義された関数$\vartheta$をヤコビセータ関数jacobi theta functionと呼ぶ。 $$ \vartheta (\tau) := \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\pi n^{2} \tau } $$
説明
ヤコビ関数はもともともっと一般的に定義されるが、通常、必要に応じて特別な形を使うことが多い。ここで紹介されたヤコビセータ関数も、正確な意味で全ての文脈をカバーするわけではないことに注意。
次の性質は特にリーマンゼータ関数の研究で中心的に使用される方程式の導出に使用される。
定理
$$ \vartheta ( \tau ) = \sqrt{ {{ 1 } \over { \tau }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) $$
証明
$f$を次のように定義すると、 $$ f(n) := e^{-\pi n^{2} \tau} $$ そして $$ \begin{align*} \vartheta ( \tau ) =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{ - \pi n^{2} x } \\ =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} f (n) \end{align*} $$
ポアソンの和公式: $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k) $$
ポアソンの和公式により、 $$ \begin{align*} \vartheta ( \tau ) =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} f (n) \\ =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k) \\ =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathcal{F} \left[ e^{- \pi \tau n^{2}} \right] (k) \end{align*} $$
ガウス関数のフーリエ変換: $$ \left( \mathcal{F} f \right) (\gamma) = \mathcal{F} \left[ e^{-A x^{2}} \right] (\gamma) = \sqrt{{ \pi } \over { A }} e^{ - {{ \pi^{2} \gamma^{2} } \over { A }}} $$
$x = n$であり、$A = \pi \tau$であるガウス関数$e^{ -\pi \tau n^{2}}$のフーリエ変換により$\gamma = k$で、 $$ \begin{align*} \vartheta (\tau) =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathcal{F} \left[ e^{- \pi \tau n^{2}} \right] (k) \\ =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \sqrt{{ \pi } \over { \pi \tau }} e^{ - {{ \pi^{2} k^{2} } \over { \pi \tau }}} \\ =& \sqrt{{{ 1 } \over { \tau }}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-\pi k^{2} {{ 1 } \over { \tau }}} \\ =& \sqrt{{{ 1 } \over { \tau }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) \end{align*} $$
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