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ヤコビのセータ関数 📂関数

ヤコビのセータ関数

定義

次のように定義された関数ϑ\varthetaをヤコビセータ関数jacobi theta functionと呼ぶ。 ϑ(τ):=∑n∈Ze−πn2τ \vartheta (\tau) := \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\pi n^{2} \tau }

説明

ヤコビ関数はもともともっと一般的に定義されるが、通常、必要に応じて特別な形を使うことが多い。ここで紹介されたヤコビセータ関数も、正確な意味で全ての文脈をカバーするわけではないことに注意。

次の性質は特にリーマンゼータ関数の研究で中心的に使用される方程式の導出に使用される。

定理

ϑ(τ)=1τϑ(1τ) \vartheta ( \tau ) = \sqrt{ {{ 1 } \over { \tau }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right)

証明

ffを次のように定義すると、 f(n):=e−πn2τ f(n) := e^{-\pi n^{2} \tau} そして ϑ(τ)=∑n∈Ze−πn2x=∑n∈Zf(n) \begin{align*} \vartheta ( \tau ) =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{ - \pi n^{2} x } \\ =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} f (n) \end{align*}

ポアソンの和公式: ∑n∈Zf(n)=∑k∈Zf^(k) \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k)

ポアソンの和公式により、 ϑ(τ)=∑n∈Zf(n)=∑k∈Zf^(k)=∑k∈ZF[e−πτn2](k) \begin{align*} \vartheta ( \tau ) =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} f (n) \\ =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k) \\ =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathcal{F} \left[ e^{- \pi \tau n^{2}} \right] (k) \end{align*}

ガウス関数のフーリエ変換: (Ff)(γ)=F[e−Ax2](γ)=πAe−π2γ2A \left( \mathcal{F} f \right) (\gamma) = \mathcal{F} \left[ e^{-A x^{2}} \right] (\gamma) = \sqrt{{ \pi } \over { A }} e^{ - {{ \pi^{2} \gamma^{2} } \over { A }}}

x=nx = nであり、A=πτA = \pi \tauであるガウス関数e−πτn2e^{ -\pi \tau n^{2}}のフーリエ変換によりγ=k\gamma = kで、 ϑ(τ)=∑k∈ZF[e−πτn2](k)=∑k∈Zππτe−π2k2πτ=1τ∑k∈Ze−πk21τ=1τϑ(1τ) \begin{align*} \vartheta (\tau) =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathcal{F} \left[ e^{- \pi \tau n^{2}} \right] (k) \\ =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \sqrt{{ \pi } \over { \pi \tau }} e^{ - {{ \pi^{2} k^{2} } \over { \pi \tau }}} \\ =& \sqrt{{{ 1 } \over { \tau }}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-\pi k^{2} {{ 1 } \over { \tau }}} \\ =& \sqrt{{{ 1 } \over { \tau }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) \end{align*}

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