ガンマ関数とリーマンゼータ関数及びディリクレイータ関数との関係
정리
$\operatorname{Re} (s) > 1$ だったら $$ \zeta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} - 1 }} dx \\ \eta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} + 1 }} dx $$
説明
ディリクレ エータ関数$\eta (s)$は、リーマン ゼータ関数$\zeta (s)$の交代級数としてだけではなく、ガンマ関数$\Gamma (S)$とメリン変換$\mathcal{M}$の仲介を通じて、上に示されたように美しくまとめられるだけでなく、数学的に興味深い関係を持っています。
証明
戦略：$f(x) = \left( e^{x} - 1 \right)^{-1}$と$g(x) = \left( e^{x} + 1 \right)^{-1}$を級数展開して、定積分の中で置換積分を使い$n$を導き出す。$x > 0$の場合、 等比級数により $$ {{ 1 } \over { 1 - e^{-x} }} = 1 + e^{-x} + e^{-2x} + \cdots $$ 右側の$1$を移項して整理すると $$ \begin{align*} & e^{-x} + e^{-2x} + \cdots \\ =& {{ 1 } \over { 1 - e^{-x} }} - 1 \\ =& {{ e^{-x} } \over { 1 - e^{-x} }} \\ =& {{ 1 } \over { e^{x} -1 }} \end{align*} $$ 関数$f,g$と関数のシーケンス$\left\{ f_{N} \right\}_{N \in \mathbb{N}}, \left\{ g_{N} \right\}_{N \in \mathbb{N}}$を次のように定義しましょう。 $$ f(x) := {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} = e^{-x} + e^{-2x} + \cdots \\ f_{N}(x) := \sum_{n=1}^{N} e^{-nx} \\ g(x) := {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} = e^{-x} - e^{-2x} + \cdots \\ g_{N}(x) := \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} e^{-nx} $$ それから、$N \to \infty$のとき $$ f_{N} \to f \\ g_{N} \to g $$ したがって、積分する際に優収束定理を使用できるでしょう。
$f$のメリン変換で$z := nx$のように置換すると$\displaystyle {{ 1 } \over { n }} dz =dx$であり、優収束定理(DCT)により $$ \begin{align*} \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} \right] (s) =& \int_{0}^{\infty} x^{s-1} {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} dx \\ \overset{\text{DCT}}{=}& \lim_{N \to \infty} \int_{0}^{\infty} x^{s-1} \sum_{n=1}^{N} e^{-nx} dx \\ =& \lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \int_{0}^{\infty} \left( {{ z } \over { n }} \right)^{s-1} e^{-z} {{ 1 } \over { n }} dz \\ =& \sum_{n=1}^{\infty} {{ 1 } \over { n^{s} }} \int_{0}^{\infty} z^{s-1} e^{-z} dz \\ =& \zeta (s) \Gamma (s) \end{align*} $$ 同様に $$ \begin{align*} \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) =& \int_{0}^{\infty} x^{s-1} {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} dx \\ \overset{\text{DCT}}{=}& \lim_{N \to \infty} \int_{0}^{\infty} x^{s-1} \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} e^{-nx} dx \\ =& \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} \int_{0}^{\infty} \left( {{ z } \over { n }} \right)^{s-1} e^{-z} {{ 1 } \over { n }} dz \\ =& \sum_{n=1}^{\infty} {{ (-1)^{n-1} } \over { n^{s} }} \int_{0}^{\infty} z^{s-1} e^{-z} dz \\ =& \eta (s) \Gamma (s) \end{align*} $$
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