logo

ガンマ関数とリーマンゼータ関数及びディリクレイータ関数との関係 📂関数

ガンマ関数とリーマンゼータ関数及びディリクレイータ関数との関係

정리

Re⁡(s)>1\operatorname{Re} (s) > 1 だったら ζ(s)Γ(s)=M[1ex−1](s)=∫0∞xs−1ex−1dxη(s)Γ(s)=M[1ex+1](s)=∫0∞xs−1ex+1dx \zeta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} - 1 }} dx \\ \eta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} + 1 }} dx

  • M\mathcal{M} はメリン変換です。
  • Re⁡(s)\operatorname{Re} (s) は複素数ssの実部を表しています。

説明

ディリクレ エータ関数η(s)\eta (s)は、リーマン ゼータ関数ζ(s)\zeta (s)の交代級数としてだけではなく、ガンマ関数Γ(S)\Gamma (S)とメリン変換M\mathcal{M}の仲介を通じて、上に示されたように美しくまとめられるだけでなく、数学的に興味深い関係を持っています。

証明

戦略：f(x)=(ex−1)−1f(x) = \left( e^{x} - 1 \right)^{-1}とg(x)=(ex+1)−1g(x) = \left( e^{x} + 1 \right)^{-1}を級数展開して、定積分の中で置換積分を使いnnを導き出す。x>0x > 0の場合、 等比級数により 11−e−x=1+e−x+e−2x+⋯ {{ 1 } \over { 1 - e^{-x} }} = 1 + e^{-x} + e^{-2x} + \cdots 右側の11を移項して整理すると e−x+e−2x+⋯=11−e−x−1=e−x1−e−x=1ex−1 \begin{align*} & e^{-x} + e^{-2x} + \cdots \\ =& {{ 1 } \over { 1 - e^{-x} }} - 1 \\ =& {{ e^{-x} } \over { 1 - e^{-x} }} \\ =& {{ 1 } \over { e^{x} -1 }} \end{align*} 関数f,gf,gと関数のシーケンス{fN}N∈N,{gN}N∈N\left\{ f_{N} \right\}_{N \in \mathbb{N}}, \left\{ g_{N} \right\}_{N \in \mathbb{N}}を次のように定義しましょう。 f(x):=1ex−1=e−x+e−2x+⋯fN(x):=∑n=1Ne−nxg(x):=1ex+1=e−x−e−2x+⋯gN(x):=∑n=1N(−1)n−1e−nx f(x) := {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} = e^{-x} + e^{-2x} + \cdots \\ f_{N}(x) := \sum_{n=1}^{N} e^{-nx} \\ g(x) := {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} = e^{-x} - e^{-2x} + \cdots \\ g_{N}(x) := \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} e^{-nx} それから、N→∞N \to \inftyのとき fN→fgN→g f_{N} \to f \\ g_{N} \to g したがって、積分する際に優収束定理を使用できるでしょう。

ffのメリン変換でz:=nxz := nxのように置換すると1ndz=dx\displaystyle {{ 1 } \over { n }} dz =dxであり、優収束定理(DCT)により M[1ex−1](s)=∫0∞xs−11ex−1dx=DCTlim⁡N→∞∫0∞xs−1∑n=1Ne−nxdx=lim⁡n→∞∑n=1N∫0∞(zn)s−1e−z1ndz=∑n=1∞1ns∫0∞zs−1e−zdz=ζ(s)Γ(s) \begin{align*} \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} \right] (s) =& \int_{0}^{\infty} x^{s-1} {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} dx \\ \overset{\text{DCT}}{=}& \lim_{N \to \infty} \int_{0}^{\infty} x^{s-1} \sum_{n=1}^{N} e^{-nx} dx \\ =& \lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \int_{0}^{\infty} \left( {{ z } \over { n }} \right)^{s-1} e^{-z} {{ 1 } \over { n }} dz \\ =& \sum_{n=1}^{\infty} {{ 1 } \over { n^{s} }} \int_{0}^{\infty} z^{s-1} e^{-z} dz \\ =& \zeta (s) \Gamma (s) \end{align*} 同様に M[1ex+1](s)=∫0∞xs−11ex+1dx=DCTlim⁡N→∞∫0∞xs−1∑n=1N(−1)n−1e−nxdx=lim⁡N→∞∑n=1N(−1)n−1∫0∞(zn)s−1e−z1ndz=∑n=1∞(−1)n−1ns∫0∞zs−1e−zdz=η(s)Γ(s) \begin{align*} \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) =& \int_{0}^{\infty} x^{s-1} {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} dx \\ \overset{\text{DCT}}{=}& \lim_{N \to \infty} \int_{0}^{\infty} x^{s-1} \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} e^{-nx} dx \\ =& \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} \int_{0}^{\infty} \left( {{ z } \over { n }} \right)^{s-1} e^{-z} {{ 1 } \over { n }} dz \\ =& \sum_{n=1}^{\infty} {{ (-1)^{n-1} } \over { n^{s} }} \int_{0}^{\infty} z^{s-1} e^{-z} dz \\ =& \eta (s) \Gamma (s) \end{align*}

■