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フーリエ変換としての作用素 📂ルベーグ空間

フーリエ変換としての作用素

定義1

関数 ff のフーリエ変換

f^(γ):=∫Rf(x)e−2πixγdx,γ∈R \widehat{f} (\gamma ) := \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2 \pi i x \gamma} dx, \quad \gamma \in \mathbb{R}

は、以下の作用素 F\mathcal{F} としても表される。

(Ff)(γ):=f^(γ) (\mathcal{F} f) (\gamma ) := \widehat{f} ( \gamma )

説明

フーリエ変換は解析学全般で広く使用されており、二つの表現 f^\widehat{f} と Ff\mathcal{F} f は本質的に違いはないが、記号を使用する際のニュアンスが少し異なる。実際の計算や公式、速記に重点を置く場合は f^\widehat{f} が好まれ、作用素としての性質や演算順序が重要な場合は F\mathcal{F} が好まれる。

f,g∈L1f,g \in L^{1} としよう。

  1. a∈Ra \in \mathbb{R} に対して

FTa=E−aF \mathcal{F} T_{a} = E_{-a} \mathcal{F}

  1. b∈Rb \in \mathbb{R} に対して

FEb=TbF \mathcal{F} E_{b} = T_{b} \mathcal{F}

  1. c≠0c \ne 0 に対して

FDc=D1/cF \mathcal{F} D_{c} = D_{1/c} \mathcal{F}

  1. コンボリューション:

F(f∗ g)=(Ff⋅Fg) \mathcal{F} ( f \ast\ g) = (\mathcal{F} f \cdot \mathcal{F} g)

1~3: Ta,Eb,DcT_{a}, E_{b}, D_{c} はトランスレーション、モジュレーション、ディレーションである。

4: ∗\ast はコンボリューション畳み込みで、⋅\cdot は単に関数の積を意味する。つまり、γ∈R\gamma \in \mathbb{R} に対して

f∗ g^(γ)=f^(γ)g^(γ) \widehat{f \ast\ g} (\gamma) = \widehat{f} (\gamma) \widehat{g} (\gamma)

f,g∈L2f , g \in L^{2} としよう。

  1. ノルム: ∥Ff∥2=∥f∥2 \left\| \mathcal{F} f \right\|_{2} = \left\| f \right\|_{2}

  2. 内積:

⟨Ff,Fg⟩=⟨f,g⟩ \langle \mathcal{F} f , \mathcal{F} g \rangle = \langle f , g \rangle

上記の性質はフーリエ解析で広く知られているものを、作用素論の言葉で再び表わしたものである。

証明

1~4の証明については、こちらを参照。

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関連項目

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p126-127 ↩︎