座標系での速度と加速度
球座標系での速度と加速度
$$ \begin{align*} \mathbf{v} &=\dot{r} \hat {\mathbf{r}} +r \dot{\theta} \hat{ \boldsymbol{\theta}}+ r \dot{\phi} \sin{\theta} \hat{ \boldsymbol{\phi}} \\ \mathbf{a} &= (\ddot{r}-r\dot\theta^2-r\dot\phi^2\sin^2\theta)\hat{\mathbf{r}}+(r\ddot\theta+2\dot{r}\dot\theta-r\dot\phi^2\sin\theta\cos\theta)\hat{\boldsymbol{\theta}} \\ &\quad+(r\ddot\phi\sin\theta+2\dot{r}\dot\phi\sin\theta+2r\dot\theta\dot\phi\cos\theta)\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align*} $$
導出
球座標系での単位ベクトルは以下の通りだ。
$$ \begin{align*} \hat{\mathbf{r}} &= \cos \phi \sin \theta \hat{\mathbf{x}} + \sin \phi \sin \theta \hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\boldsymbol{\theta}} &= \cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta \hat{\mathbf{y}} - \sin\theta\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\boldsymbol{\phi}} &= -\sin\phi \hat{\mathbf{x}} + \cos\phi \hat{\mathbf{y}} \end{align*} $$
これから球座標系で速度と加速度を順に求めよう。速度は位置を時間で微分して、加速度は速度を時間で微分して求めることができる。ちなみに $\dot{r}$ は「アル ドット」と読む。物理では文字の上の点は時間に対する微分を意味する。
$$ \dot{r}=\frac{dr}{dt} $$
速度と加速度を求める前に、まず単位ベクトルの微分を先に求めておこう。$\dot{\hat{ \mathbf{r}}}$、$\dot {\hat{ \boldsymbol{\theta}}}$、$\dot {\hat{ \boldsymbol{\phi}}}$を計算するとそれぞれ以下のようになる。
$$ \begin{align*} \dot{\hat{ \mathbf{r}}} &= \frac{d}{dt}(\cos\phi\sin\theta\hat{\mathbf{x}} +\sin\phi\sin\theta\hat{\mathbf{y}}+\cos\theta\hat{\mathbf{z}} ) \\ &= \frac{d\cos\phi}{dt}\sin\theta\hat{\mathbf{x}} + \cos\phi\frac{d \sin\theta}{dt}\hat{\mathbf{x}}+\frac{d \sin\phi}{dt}\sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \sin\phi\frac{d\sin\theta}{dt}\hat{\mathbf{y}}+\frac{d \cos\theta}{dt}\hat{\mathbf{z}} \\ &= \frac{d\cos\phi}{d\phi}\frac{d\phi}{dt}\sin\theta\hat{\mathbf{x}} + \cos\phi\frac{d \sin\theta}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}\hat{\mathbf{x}} \\ &\quad +\frac{d \sin\phi}{d\phi}\frac{d\phi}{dt}\sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \sin\phi\frac{d\sin\theta}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}\hat{\mathbf{y}}+ \frac{d \cos\theta}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}\hat{\mathbf{z}} \\ &= -\dot\phi\sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{x}} + \dot\theta\cos\phi\cos\theta\hat{\mathbf{x}}+\dot\phi\cos\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \dot\theta\sin\phi\cos\theta\hat{\mathbf{y}}-\dot\theta\sin\theta\hat{\mathbf{z}} \\ &= \dot{\theta}(\cos\phi\cos\theta\hat{\mathbf{x}} + \sin\phi\cos\theta\hat{\mathbf{y}} -\sin\theta \hat{\mathbf{z}}) + \dot{\phi}\sin\theta (-\sin\phi\hat{\mathbf{x}}+\cos\phi\hat{\mathbf{y}}) \\ &= \dot{\theta} \hat{ \boldsymbol{\theta} } + \dot{\phi} \sin\theta \hat{ \boldsymbol{\phi}} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \dot {\hat{ \boldsymbol{\theta}}} &= \frac{d}{dt}(\cos\phi\cos\theta\hat{\mathbf{x}} + \sin\phi\cos\theta\hat{\mathbf{y}} -\sin\theta \hat{\mathbf{z}}) \\ &= -\dot{\phi}\sin\phi\cos\theta\hat{\mathbf{x}}-\dot\theta\cos\phi\sin\theta\hat{\mathbf{x}}+\dot{\phi} \cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{y}}-\dot{\theta} \sin\phi \sin\theta \hat{\mathbf{y}}-\dot\theta\cos\theta\hat{\mathbf{z}} \\ &= -\dot\theta (\cos\phi\sin\theta\hat{\mathbf{x}}+\sin\phi\sin\theta \hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}}) + \dot{\phi}\cos\theta (-\sin\phi\hat{\mathbf{x}}+\cos\phi\hat{\mathbf{y}}) \\ &= - \dot{\theta} \hat{ \mathbf{r}} + \dot{\phi} \cos \theta \hat {\boldsymbol{\phi}} \end{align*} $$
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \dot {\hat{ \boldsymbol{\phi}}} &= \frac{d}{dt}(-\sin\phi\hat{\mathbf{x}}+\cos\phi\hat{\mathbf{y}}) \\ &= -\dot\phi\cos\phi\hat{\mathbf{x}}-\dot\phi\sin\phi\hat{\mathbf{y}} \\ &= -\dot\phi (\cos\phi\hat{\mathbf{x}} + \sin\phi\hat{\mathbf{y}}) \end{aligned} \end{equation} $$
$\dot {\hat{\boldsymbol{\phi}}}$の結果は、他の成分と異なり$\hat{\mathbf{r}}$と$\hat{\boldsymbol{\theta}}$に直接整理されない。よく見ると$\hat{\mathbf{z}}$の成分がないことが分かる。$\hat{\mathbf{r}}$に$\sin\theta$を掛けて$\hat{\boldsymbol{\theta}}$に$\cos\theta$を掛けて両方を足すと$\hat{\mathbf{z}}$の成分がなくなる。これを利用しよう。
$$ \begin{align*} \ \sin\theta\hat{\mathbf{r}}+\cos\theta \hat{\boldsymbol{\theta}} &= \cos\phi\sin^2\theta\hat{\mathbf{x}}+\sin\phi\sin^2\theta\hat{\mathbf{y}}+\sin\theta\cos\theta \hat{\mathbf{z}} \\ &\quad + \cos\phi\cos^2\theta\hat{\mathbf{x}} +\sin\phi\cos^2\theta\hat{\mathbf{y}} -\sin\theta\cos\theta \hat{\mathbf{z}} \\ &= \cos\phi (\sin^2\theta+\cos^2\theta)\hat{\mathbf{x}}+\sin\phi (\sin^2\theta+\cos^2\theta)\hat{\mathbf{y}} \\ &= \cos\phi\hat{\mathbf{x}}+\sin\phi\hat{\mathbf{y}} \end{align*} $$
上の式を$(1)$に代入すると以下の通りだ。
$$ \dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}}=-\dot\phi\sin\theta\hat{\mathbf{r}} - \dot\phi\cos\theta \hat{\boldsymbol{\theta}} $$
速度
$\mathbf{r}$を$t$で微分すると以下の通りだ。
$$ \begin{align*} \mathbf{v} = \frac{d \mathbf{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(r \hat{\mathbf{r}}) = \frac{d r}{dt}\hat{\mathbf{r}} + r\frac{d \hat{\mathbf{r}}}{dt} &= \dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\hat{\mathbf{r}}} \\ &= \dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r\dot{\theta} \hat{ \boldsymbol{\theta} } + r\dot{\phi} \sin\theta \hat{ \boldsymbol{\phi}} \end{align*} $$
事前に計算しておいた単位ベクトルの微分を代入するだけで結果が得られる。
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加速度
$\mathbf{v}$を$t$で微分すると以下の通りだ。
$$ \begin{align*} \mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{dt} &= \frac{d}{dt}(\dot{r} \hat{\mathbf{r}} +r\dot\theta\hat{\boldsymbol{\theta}}+ r\dot\phi\sin\theta \hat{\boldsymbol{\phi}}) \\ &= (\ddot r \hat{\mathbf{r}} + \dot{r} \dot{\hat{\mathbf{r}}}) + (\dot{r}\dot\theta\hat{\boldsymbol{\theta}} + r\ddot\theta\hat{\boldsymbol{\theta}} + r\dot\theta\dot{\hat{\boldsymbol{\theta}}}) \\ &\quad + (\dot{r} \dot\phi\sin\theta \hat{\boldsymbol{\phi}}+ r\ddot\phi\sin\theta\hat{\boldsymbol{\phi}}+ r\dot\phi\dot\theta\cos\theta\hat{\boldsymbol{\phi}}+ r\dot\phi\sin\theta\dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}}) \end{align*} $$
すごく長い。じっくり解いてみよう。単位ベクトルの微分は既に求めてあるので、代入して整理すれば終わりだ。
$$ \begin{align*} \mathbf{a} &= \left[ \ddot r \hat{\mathbf{r}} + \dot{r} (\dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} + \dot{\phi} \sin\theta \hat{\boldsymbol{\phi}}) \right] + \left[ \dot{r}\dot\theta\hat{\boldsymbol{\theta}}+ r\ddot\theta\hat{\boldsymbol{\theta}}+r\dot\theta ( -\dot{\theta} \hat{\mathbf{r}} + \dot{\phi} \cos \theta \hat{\boldsymbol{\phi}}) \right] \\ &\quad + \left[ \dot{r} \dot\phi\sin\theta\hat{\boldsymbol{\phi}}+ r\ddot\phi\sin\theta\hat{\boldsymbol{\phi}}+ r\dot\phi\dot\theta\cos\theta\hat{\boldsymbol{\phi}}+ r\dot\phi\sin\theta (-\dot\phi\sin\theta\hat{\mathbf{r}} - \dot\phi\cos\theta\hat{\boldsymbol{\theta}}) \right] \\ &= (\ddot{r}-r\dot\theta^2-r\dot\phi^2\sin^2\theta)\hat{\mathbf{r}}+(r\ddot\theta+2\dot{r}\dot\theta-r\dot\phi^2\sin\theta\cos\theta)\hat{\boldsymbol{\theta}} \\ &\quad +(r\ddot\phi\sin\theta+2\dot{r}\dot\phi\sin\theta+2r\dot\theta\dot\phi\cos\theta)\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align*} $$
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