📂ルベーグ空間

L2空間における変換、変調、および拡大の交換関係

定理¹

全ての $a, b \in \mathbb{R}$ と $c > 0$ に対して、$T_{a}, E_{b}, D_{c}$ は以下の関係を持つ。

$$\begin{equation} (T_{a} E_{b} f ) (x) = e^{- 2 \pi i b a} (E_{b} T_{a} f ) (x) \end{equation}$$

$$\begin{equation} (T_{a} D_{c} f ) (x) = (D_{c} T_{a/c} f ) (x) \end{equation}$$

$$\begin{equation} (D_{c} E_{b} f ) (x) = (E_{b/c} D_{c} f ) (x) \end{equation}$$

この時、$T_{a}, E_{b}, D_{c}$ はそれぞれ $L^{2}$ で定義されたトランスレーション、モジュレーション、ダイレーションである。

証明

(1)

$$\begin{align*} (T_{a} E_{b} f ) (x) =& T_{a} \left( e^{2 \pi i b x} f(x) \right) \\ =& e^{2 \pi i b (x-a)} f(x-a) \\ =& e^{2 \pi i b (-a)} e^{2 \pi i b x} f(x-a) \\ =& e^{- 2 \pi i b a} (E_{b} T_{a} f ) (x) \end{align*}$$

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(2)

$$\begin{align*} (T_{a} D_{c} f ) (x) =& T_{a} \left( {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} f \left( {{ x } \over { c }} \right) \right) \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} f \left( {{ x-a } \over { c }} \right) \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} (T_{a/c} f) \left( {{ x } \over { c }} \right) \\ =& (D_{c} T_{a/c} f ) (x) \end{align*}$$

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(3)

$$\begin{align*} (D_{c} E_{b} f ) (x) =& D_{c} \left( e^{2 \pi i b x } f (x) \right) \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} e^{ 2 \pi i b x/c } f \left( {{ x } \over { c }} \right) \\ =& e^{ 2 \pi i (b/c) x } {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} f \left( {{ x } \over { c }} \right) \\ =& e^{ 2 \pi i (b/c) x } (D_{c} f)(x) \\ =& (E_{b/c} D_{c} f)(x) \end{align*}$$

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