量子力学における波動関数とヒルベルト空間
導入
古典力学における主な関心事は、与えられた条件のもとでニュートンの第2法則 $\mathbf{F} = m \mathbf{a}$を満たす位置関数 $\mathbf{r}(t)$を求めることである。たとえば2次元空間で初速度 $\mathbf{v}_{0} = (v_{0}\cos\theta, v_{0}\sin\theta)$で発射された物体の時間に応じた位置は、次の連立方程式を解いて求めることができ、これを放物運動という。
$$ \begin{align*} m \dfrac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}} &= -mg\hat{\mathbf{y}} \\ \mathbf{v}(0) &= (v_{0}\cos\theta, v_{0}\sin\theta) \end{align*} $$
上の式を解くと、物体の位置を表す関数が次のようになることがわかる。
$$ \mathbf{r}(t) = -\dfrac{1}{2}gt^{2}\hat{\mathbf{y}} + t \mathbf{v}_{0} $$
位置がわかれば速度 $\mathbf{v} = \dfrac{d\mathbf{r}}{dt}$がわかり、速度がわかれば運動量 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$と運動エネルギー $T = \dfrac{1}{2}mv^{2}$がわかる。つまり $\mathbf{r}(t)$を求めることが重要な理由は、これから物体に関する物理的な情報を知ることができるからである。
これと同様に、量子力学で関心を持つのは粒子の波動関数である。物体の運動を分析するために古典力学ではニュートンの第2法則の解を求めるとすれば、量子力学ではシュレディンガー方程式の解を求める。この関数が物体に関する物理的な情報を含んでいるからである。
定義
次のようなシュレディンガー方程式の解solutionを波動関数wave functionという。
$$ \begin{align*} \i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t} &= \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial ^{2} }{\partial x^{2} }+V\right)\psi & (\text{1-dim}) \\[1em] \i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t} &= \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi & (\text{3-dim}) \end{align*} $$
このとき $\hbar$は換算プランク定数reduced Planck constant、$V$はポテンシャル、$\nabla^{2}$はラプラシアンである。
説明
波動関数の表記として主に用いられる表記法は次のとおりである。
$$ \Psi(x, t),\quad \psi(x, t),\quad \phi(x, t),\quad u(x) $$
生新エビ寿司屋では、位置と時間に関する波動関数を $\psi (x,t)$と表記し、時間に無関係で位置に関する波動関数は $u(x)$と表記する。ポテンシャルがない場合、すなわち自由粒子free particleの波動関数は次のとおりである。
$$ \begin{align*} \psi(x, t) &= e^{\i (kx - \omega t)} = e^{\i (px - Et)/\hbar} & (\text{1-dim}) \\ \psi(\mathbf{r}, t) &= e^{\i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r} - \omega t)} = e^{\i (\mathbf{p}\cdot \mathbf{r} - Et)/\hbar} & (\text{3-dim}) \end{align*} $$
上のシュレディンガー方程式で $V = 0$とおいて $\psi$を代入してみると、式が成り立つことが容易に確認できる。
$$ {-} \dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi = - \dfrac{\hbar^{2}}{2m} \dfrac{(\i p)^{2}}{\hbar^{2}} \psi = \dfrac{p^{2}}{2m}\psi = E\psi $$
$$ \i \hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial t} = \i \hbar \left( -\i E/\hbar \right)\psi = E\psi $$
ただし、この平面波解は二乗積分が不可能なので規格化できず、それ自体では物理的状態を表せない形式的な解である点に注意しよう。実際の自由粒子の状態は、このような平面波を重ね合わせた波束wave packetで作られる。
解釈
上で波動関数が物体に関する物理的な情報を含んでいると述べたが、これは具体的にはマックス・ボルンの解釈に従って $\left| \psi(x, t) \right|^{2}$を、時間が $t$のとき、ある地点 $x$で粒子が存在する確率密度関数として扱う。したがって下の式は、時間が $t$のとき区間 $[a, b]$で粒子が存在する確率を意味する。
$$ \int _{a} ^b |\psi (x,t)|^2dx \\[1em] = \text{The probability that a particle exists in the interval } [a,b] \text{ at time } t $$
ヒルベルト空間
量子力学でいうヒルベルト空間とは、数学的には次のようなルベーグ空間 $L^{2}$と同じである。これは数あるヒルベルト空間のうちの一つだが、量子力学ではこれ以外のヒルベルト空間に関心を持たないため、事実上同じものとして扱う。
$$ L^{2} = \left\{ \psi : \int \left| \psi \right|^{2} dx < \infty \right\} $$
これは波動関数の二乗積分が発散してはならないという話である。ヒルベルト空間は本来内積が与えられる空間であるが、二つの波動関数の内積inner productは次のように定義される。
$$ \braket{\psi | \phi} := \int \psi^{\ast}(x, t) \phi(x, t) dx $$
厳密には、内積が定義されていて、その内積から誘導されるノルムに対して完備completeであるベクトル空間をヒルベルト空間というのだが、物理学科の学部生であればこれらすべての数学的定義まで知る必要はない。ヒルベルト空間とは「二乗積分可能な関数の集合」として理解しても十分である。
波動関数、すなわち物理的状態は $L^{2}$の元のうちでも規格化された($\left\| \psi \right\| = 1$)ものであり、$\psi, \phi \in L^{2}$でありさえすれば上の内積が有限であることが保証される。
コーシー・シュワルツの不等式
また内積があるのでコーシー・シュワルツの不等式が成り立つ。二つの波動関数 $\psi$、$\phi$について、
$$ \left| \braket{\psi | \phi} \right| \leq \sqrt{\braket{\psi | \psi}}\sqrt{\braket{\phi | \phi}} $$
あるいは次のように表現することもある。
$$ \left| \braket{\psi | \phi} \right|^{2} \le \braket{\psi | \psi} \braket{\phi | \phi} $$