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角運動量と位置/運動量の交換関係 📂量子力学

角運動量と位置/運動量の交換関係

公式

角運動量と位置の交換子は次のようになる。

[Lz,x]=iy[Lz,y]=ix[Lz,z]=0 \begin{align*} [L_{z}, x] &= \i \hbar y \\ [L_{z}, y] &= -\i \hbar x \\ [L_{z}, z] &= 0 \end{align*}

角運動量と運動量の交換子は次のようになる。

[Lz,px]=ipy[Lz,py]=ipx[Lz,pz]=0 \begin{align*} [L_{z}, p_{x}] &= \i \hbar p_{y} \\ [L_{z}, p_{y}] &= -\i \hbar p_{x} \\ [L_{z}, p_{z}] &= 0 \end{align*}

角運動量と位置の二乗、運動量の二乗は交換可能だ。つまり、以下の式を満たす。

[Lz,r2]=0[Lz,p2]=0 \begin{align*} [L_{z}, r^{2}] &= 0 \\ [L_{z}, p^{2}] &= 0 \end{align*}

ここで、r2=x2+y2+z2r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}p2=px2+py2+pz2p^{2} = p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}だ。追加で次のことが成立する。

[Lz,x2]=2ixy[Lz,y2]=2ixy[Lz,px2]=2ipxpy[Lz,py2]=2ipxpy \begin{align*} [L_{z}, x^{2}] &= 2\i\hbar xy \\ [L_{z}, y^{2}] &= -2\i\hbar xy \\ [L_{z}, p_{x}^{2}] &= 2\i\hbar p_{x}p_{y} \\ [L_{z}, p_{y}^{2}] &= -2\i\hbar p_{x}p_{y} \\ \end{align*}

説明

上記の公式から、角運動量は同じ座標の位置、運動量と交換可能だということがわかる。

証明

次の公式が有用だ。

位置と運動量の交換子

[x,px]=i [x, p_{x}] = \i \hbar

交換子の性質

[A+B,C]=[A,C]+[B,C][AB,C]=A[B,C]+[A,C]B[A,BC]=B[A,C]+[A,B]C \begin{align*} [ A + B, C ] &= [ A, C ] + [ B, C ] \\[0.5em] [AB, C] &= A[ B, C ] + [ A, C] B \\[0.5em] [A, BC] &= B[ A, C ] + [ A, B] C \end{align*}

[Lz,x][L_{z}, x]

まず、交換子[Lz,x][L_{z}, x]を展開してみると、

[Lz,x]=[xpyypx,x]=(xpyxxxpy)(ypxxxypx) \begin{align*} [L_{z}, x] &= [xp_{y}-yp_{x}, x] \\ &= (xp_{y}x - xxp_{y}) - (yp_{x}x - xyp_{x}) \end{align*}

ここで、異なる座標に対する位置と運動量は交換可能なので、最初の二つの項は00になる。

xpyxxxpy=xxpyxxpy=0 xp_{y}x-xxp_{y} = xxp_{y}-xxp_{y}=0

したがって次のように整理できる。

[Lz,x]=ypxx+xypx=ypxx+yxpx=y(xpxpxx)=y[x,px]=y(i)=iy \begin{align*} [L_{z},x] &= -yp_{x}x + xyp_{x} \\ &= -yp_{x}x + yxp_{x} \\ &= y(xp_{x} - p_{x}x) \\ &= y[x, p_{x}] \\ &= y(\i \hbar) \\ &= \i \hbar y \end{align*}

同じ方法で[Lz,y][L_{z}, y]を計算してみると次のようになる。

[Lz,y]=[xpyypx,y]=xpyyyxpyypxy+yypx=xpyyyxpy=xpyyxypy=x(pyyypy)=x[py,y]=x(i)=ix \begin{align*} [L_{z},y] &= [xp_{y}-yp_{x},y] \\ &= xp_{y}y-yxp_{y}-yp_{x}y+yyp_{x} \\ &= xp_{y}y-yxp_{y} \\ &= xp_{y}y-xyp_{y} \\ &= x(p_{y}y-yp_{y}) \\ &= x[p_{y},y] \\ &= x(-\i\hbar) \\ &= -\i\hbar x \end{align*}

また、zzxxyypxp_{x}pzp_{z}全てと交換可能なので次が得られる。

[Lz,z]=[xpyypx,z]=0 \begin{align*} [L_{z},z] &= [xp_{y}-yp_{x},z] \\ &= 0 \end{align*}

[Lz,px][L_{z}, p_{x}]

[Lz,px][L_{z},p_{x}]は交換子の性質によって次のようになる。

[Lz,px]=[xpyypx,px]=xpypxpxxpyypxpx+pxypx=xpypxpxxpy=xpxpypxxpy=(xpxpxx)py=[x,px]py=ipy \begin{align*} [L_{z},p_{x}] &= [xp_{y}-yp_{x},p_{x}] \\ &= xp_{y}p_{x}-p_{x}xp_{y}-yp_{x}p_{x}+p_{x}yp_{x} \\ &= xp_{y}p_{x}-p_{x}xp_{y} \\ &= xp_{x}p_{y}-p_{x}xp_{y} \\ &= (xp_{x}-p_{x}x)p_{y} \\ &= [x,p_{x}]p_{y} \\ &= \i\hbar p_{y} \end{align*}

三つ目の等号はyypxp_{x}が交換可能なので成立する。四つ目の等号はpxp_{x}pyp_{y}が交換可能なので成立する。同じ方法で次が得られる。

[Lz,py]=[xpyypx,py]=xpypypyxpyypxpy+pyypx=ypxpy+pyypx=[py,y]px=ipx \begin{align*} [L_{z},p_{y}] &= [xp_{y}-yp_{x},p_{y}] \\ &= xp_{y}p_{y}-p_{y}xp_{y}-yp_{x}p_{y}+p_{y}yp_{x} \\ &= -yp_{x}p_{y}+p_{y}yp_{x} \\ &= [p_{y},y]p_{x} \\ &= - \i \hbar p_{x} \end{align*}

pzp_{z}xxyypxp_{x}pyp_{y}全てと交換可能なので、以下の式が成立する。

[Lz,pz]=[xpyypx,pz]=0 \begin{align*} [L_{z},p_{z}] &= [xp_{y}-yp_{x},p_{z}] \\ &= 0 \end{align*}

[Lz,r2][L_{z}, r^{2}][Lz,p2][L_{z}, p^{2}]

交換子の性質により次が得られる。

[Lz,x2]=x[Lz,x]+[Lz,x]x=xiy+iyx=2ixy \begin{align*} [L_{z}, x^{2}] &= x[L_{z},x] + [L_{z},x]x \\ &= x\i\hbar y + \i\hbar yx \\ &= 2\i\hbar xy \end{align*}

同じ方法で次のように計算できる。

[Lz,y2]=y[Lz,y]+[Lz,y]y=y(ix)ixy=2ixy \begin{align*} [L_{z}, y^{2}] &= y[L_{z},y] + [L_{z},y]y \\ &= y(-\i\hbar x) - \i\hbar xy \\ &= -2\i\hbar xy \end{align*}

[Lz,z2]=z[Lz,z]+[Lz,z]z=0 \begin{align*} [L_{z},z^{2}] &= z[L_{z},z] + [L_{z},z]z \\ &= 0 \end{align*}

したがって次が得られる。

[Lz,r2]=[Lz,x2+y2+z2]=2ixy2ixy+0=0 [L_{z}, r^{2}] = [L_{z}, x^{2} + y^{2} + z^{2}] = 2\i\hbar xy - 2\i\hbar xy + 0 = 0

上記の方法で次のように計算できる。

[Lz,px2]=px[Lz,px]+[Lz,px]px=2ipxpy \begin{align*} [L_{z},p_{x}^{2}] &= p_{x}[L_{z},p_{x}]+[L_{z},p_{x}]p_{x} \\ &= 2\i\hbar p_{x}p_{y} \end{align*}

[Lz,py2]=py[Lz,py]+[Lz,py]py=2ipxpy \begin{align*} [L_{z},p_{y}^{2}] &= p_{y}[L_{z},p_{y}]+[L_{z},p_{y}]p_{y} \\ &= -2\i\hbar p_{x}p_{y} \end{align*}

[Lz,pz2]=pz[Lz,pz]+[Lz,pz]pz=0 \begin{align*} [L_{z},p_{z}^{2}] &= p_{z}[L_{z},p_{z}]+[L_{z},p_{z}]p_{z} \\ &= 0 \end{align*}

したがって次が得られる。

[Lz,p2]=[Lz,px2+py2+pz2]=2ipxpy2ipxpy+0=0 [L_{z},p^{2}] = [L_{z},p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}] = 2\i\hbar p_{x}p_{y} - 2\i\hbar p_{x}p_{y} + 0 = 0