角運動量と位置／運動量の交換関係
公式
$$ \begin{align*} [L_{z}, x] &= \i \hbar y \\ [L_{z}, y] &= -\i \hbar x \\ [L_{z}, z] &= 0 \end{align*} $$
角運動量と運動量の交換子は次のようになる。
$$ \begin{align*} [L_{z}, p_{x}] &= \i \hbar p_{y} \\ [L_{z}, p_{y}] &= -\i \hbar p_{x} \\ [L_{z}, p_{z}] &= 0 \end{align*} $$
角運動量と位置の二乗、運動量の二乗は交換可能だ。つまり、以下の式を満たす。
$$ \begin{align*} [L_{z}, r^{2}] &= 0 \\ [L_{z}, p^{2}] &= 0 \end{align*} $$
ここで、$r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$と$p^{2} = p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}$だ。追加で次のことが成立する。
$$ \begin{align*} [L_{z}, x^{2}] &= 2\i\hbar xy \\ [L_{z}, y^{2}] &= -2\i\hbar xy \\ [L_{z}, p_{x}^{2}] &= 2\i\hbar p_{x}p_{y} \\ [L_{z}, p_{y}^{2}] &= -2\i\hbar p_{x}p_{y} \\ \end{align*} $$
説明
上記の公式から、角運動量は同じ座標の位置、運動量と交換可能だということがわかる。
証明
次の公式が有用だ。
$$ [x, p_{x}] = \i \hbar $$
$$ \begin{align*} [ A + B, C ] &= [ A, C ] + [ B, C ] \\[0.5em] [AB, C] &= A[ B, C ] + [ A, C] B \\[0.5em] [A, BC] &= B[ A, C ] + [ A, B] C \end{align*} $$
$[L_{z}, x]$
まず、交換子$[L_{z}, x]$を展開してみると、
$$ \begin{align*} [L_{z}, x] &= [xp_{y}-yp_{x}, x] \\ &= (xp_{y}x - xxp_{y}) - (yp_{x}x - xyp_{x}) \end{align*} $$
ここで、異なる座標に対する位置と運動量は交換可能なので、最初の二つの項は$0$になる。
$$ xp_{y}x-xxp_{y} = xxp_{y}-xxp_{y}=0 $$
したがって次のように整理できる。
$$ \begin{align*} [L_{z},x] &= -yp_{x}x + xyp_{x} \\ &= -yp_{x}x + yxp_{x} \\ &= y(xp_{x} - p_{x}x) \\ &= y[x, p_{x}] \\ &= y(\i \hbar) \\ &= \i \hbar y \end{align*} $$
同じ方法で$[L_{z}, y]$を計算してみると次のようになる。
$$ \begin{align*} [L_{z},y] &= [xp_{y}-yp_{x},y] \\ &= xp_{y}y-yxp_{y}-yp_{x}y+yyp_{x} \\ &= xp_{y}y-yxp_{y} \\ &= xp_{y}y-xyp_{y} \\ &= x(p_{y}y-yp_{y}) \\ &= x[p_{y},y] \\ &= x(-\i\hbar) \\ &= -\i\hbar x \end{align*} $$
また、$z$は$x$、$y$、$p_{x}$、$p_{z}$全てと交換可能なので次が得られる。
$$ \begin{align*} [L_{z},z] &= [xp_{y}-yp_{x},z] \\ &= 0 \end{align*} $$
$[L_{z}, p_{x}]$
$[L_{z},p_{x}]$は交換子の性質によって次のようになる。
$$ \begin{align*} [L_{z},p_{x}] &= [xp_{y}-yp_{x},p_{x}] \\ &= xp_{y}p_{x}-p_{x}xp_{y}-yp_{x}p_{x}+p_{x}yp_{x} \\ &= xp_{y}p_{x}-p_{x}xp_{y} \\ &= xp_{x}p_{y}-p_{x}xp_{y} \\ &= (xp_{x}-p_{x}x)p_{y} \\ &= [x,p_{x}]p_{y} \\ &= \i\hbar p_{y} \end{align*} $$
三つ目の等号は$y$と$p_{x}$が交換可能なので成立する。四つ目の等号は$p_{x}$、$p_{y}$が交換可能なので成立する。同じ方法で次が得られる。
$$ \begin{align*} [L_{z},p_{y}] &= [xp_{y}-yp_{x},p_{y}] \\ &= xp_{y}p_{y}-p_{y}xp_{y}-yp_{x}p_{y}+p_{y}yp_{x} \\ &= -yp_{x}p_{y}+p_{y}yp_{x} \\ &= [p_{y},y]p_{x} \\ &= - \i \hbar p_{x} \end{align*} $$
$p_{z}$は$x$、$y$、$p_{x}$、$p_{y}$全てと交換可能なので、以下の式が成立する。
$$ \begin{align*} [L_{z},p_{z}] &= [xp_{y}-yp_{x},p_{z}] \\ &= 0 \end{align*} $$
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$[L_{z}, r^{2}]$、$[L_{z}, p^{2}]$
交換子の性質により次が得られる。
$$ \begin{align*} [L_{z}, x^{2}] &= x[L_{z},x] + [L_{z},x]x \\ &= x\i\hbar y + \i\hbar yx \\ &= 2\i\hbar xy \end{align*} $$
同じ方法で次のように計算できる。
$$ \begin{align*} [L_{z}, y^{2}] &= y[L_{z},y] + [L_{z},y]y \\ &= y(-\i\hbar x) - \i\hbar xy \\ &= -2\i\hbar xy \end{align*} $$
$$ \begin{align*} [L_{z},z^{2}] &= z[L_{z},z] + [L_{z},z]z \\ &= 0 \end{align*} $$
したがって次が得られる。
$$ [L_{z}, r^{2}] = [L_{z}, x^{2} + y^{2} + z^{2}] = 2\i\hbar xy - 2\i\hbar xy + 0 = 0 $$
上記の方法で次のように計算できる。
$$ \begin{align*} [L_{z},p_{x}^{2}] &= p_{x}[L_{z},p_{x}]+[L_{z},p_{x}]p_{x} \\ &= 2\i\hbar p_{x}p_{y} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} [L_{z},p_{y}^{2}] &= p_{y}[L_{z},p_{y}]+[L_{z},p_{y}]p_{y} \\ &= -2\i\hbar p_{x}p_{y} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} [L_{z},p_{z}^{2}] &= p_{z}[L_{z},p_{z}]+[L_{z},p_{z}]p_{z} \\ &= 0 \end{align*} $$
したがって次が得られる。
$$ [L_{z},p^{2}] = [L_{z},p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}] = 2\i\hbar p_{x}p_{y} - 2\i\hbar p_{x}p_{y} + 0 = 0 $$
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