ディリクレのエータ関数
定義
次のように定義された関数 $\eta : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ をディリクレのエタ関数dirichlet eta functionと呼ぶ。 $$ \eta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^{n-1} n^{-s} $$
ディリクレのエタ関数は、交代するリーマンのゼータ関数として定義される。
定理
- [1] リーマンのゼータ関数との関係: $$ \eta (s) = \left( 1 - 2^{1-s} \right) \zeta (s) $$
- [2] ガンマ関数との関係：$\operatorname{Re} (s) > 1$ ならば $$ \eta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} + 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} + 1 }} dx $$
- $\Re(z)$ は複素数 $z \in \mathbb{C}$ の実部を意味する。
証明
[1]
$$ \begin{align*} \zeta (s) - \eta (s) =& \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{s} }} - \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ (-1)^{n-1} } \over { n^{s} }} \\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( {{ 1 } \over { n^{s} }} + {{ (-1)^{n} } \over { n^{s} }} \right) \\ =& 2 \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { (2n)^{s} }} \\ =& 2^{1-s} \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{s} }} \\ =& 2^{1-s} \zeta (s) \end{align*} $$ ディリクレのエタ関数に対して変形すると $$ \eta (s) = \left( 1 - 2^{1-s} \right) \zeta (s) $$
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[2]
それほど単純ではない。支配収束定理を通して導かれる。
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