logo

L2空間における平行移動、変調、および拡大の作用素 📂ルベーグ空間

L2空間における平行移動、変調、および拡大の作用素

定理1

Ta,Eb,DcT_{a}, E_{b}, D_{c} はユニタリで、逆作用素は次の通りだ。

Ta−1=T−a=(Ta)∗ T_{a}^{-1} = T_{-a} = \left( T_{a} \right)^{ \ast }

Eb−1=E−b=(Eb)∗ E_{b}^{-1} = E_{-b} = \left( E_{b} \right)^{ \ast }

Dc−1=D1/c=(Dc)∗ D_{c}^{-1} = D_{1/c} = \left( D_{c} \right)^{ \ast }

ここで、Ta,Eb,DcT_{a}, E_{b}, D_{c} はそれぞれ L2L^{2} で定義されたトランスレーション、モジュレーション、ダイレーションである。

証明

トランスレーション

t:=x−at := x - a として置換すると、

⟨Taf,g⟩=∫−∞∞f(x−a)g(x)‾dx=∫−∞∞f(t)g(t+a)‾dt=⟨f,T−ag⟩=⟨f,Ta∗g⟩ \begin{align*} \langle T_{a} f , g \rangle =& \int_{-\infty}^{\infty} f \left( x - a \right) \overline{g \left( x \right)} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} f \left( t \right) \overline{g \left( t + a \right)} dt \\ =& \langle f , T_{-a} g \rangle \\ =& \langle f , T_{a}^{ \ast } g \rangle \end{align*}

T−a=Ta∗T_{-a} = T_{a}^{ \ast } だから、

TaTa∗=TaT−a=I=T−aTa=Ta∗Ta T_{a} T_{a}^{ \ast } = T_{a} T_{-a} = I = T_{-a} T_{a} = T_{a}^{ \ast } T_{a}

■

モジュレーション

e2πibx=e−2πibx‾\displaystyle e^{2 \pi i b x} = \overline{e^{-2 \pi i b x}} だから、

⟨Ebf,g⟩=∫−∞∞e2πibxf(x)g(x)‾dx=∫−∞∞f(x)e−2πibx‾g(x)‾=∫−∞∞f(x)e2πi(−b)xg(x)‾=⟨f,E−bg⟩=⟨f,Eb∗g⟩ \begin{align*} \langle E_{b} f , g \rangle =& \int_{-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i b x} f \left( x \right) \overline{g \left( x \right)} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} f \left( x \right) \overline{e^{-2 \pi i b x}} \overline{ g \left( x \right)} \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} f \left( x \right) \overline{ e^{2 \pi i (-b) x} g \left( x \right)} \\ =& \langle f , E_{-b} g \rangle \\ =& \langle f , E_{b}^{ \ast } g \rangle \end{align*}

E−b=Eb∗E_{-b} = E_{b}^{ \ast } だから、

EbEb∗=EbE−b=I=E−bEb=Eb∗Eb E_{b} E_{b}^{ \ast } = E_{b} E_{-b} = I = E_{-b} E_{b} = E_{b}^{ \ast } E_{b}

■

ダイレーション

t:=xc\displaystyle t := {{ x } \over { c }} として置換すると、

⟨Dcf,g⟩=∫−∞∞1cf(xc)g(x)‾dx=∫−∞∞f(t)1cg(ct)‾cdt=∫−∞∞f(t)cg(ct)‾cdt=⟨f,D1/cg⟩=⟨f,Dc∗g⟩ \begin{align*} \langle D_{c} f , g \rangle =& \int_{-\infty}^{\infty} {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} f \left( {{ x } \over { c }} \right) \overline{g \left( x \right)} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} f \left( t \right) {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} \overline{g \left( ct \right)} c dt \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} f \left( t \right) \overline{ \sqrt{c} g \left( ct \right)} c dt \\ =& \langle f , D_{1/c} g \rangle \\ =& \langle f , D_{c}^{ \ast } g \rangle \end{align*}

D1/c=Dc∗D_{1/c} = D_{c}^{ \ast } だから、

DcDc∗=DcD1/c=I=D1/cDc=Dc∗Dc D_{c} D_{c}^{ \ast } = D_{c} D_{1/c} = I = D_{1/c} D_{c} = D_{c}^{ \ast } D_{c}

■

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p121 ↩︎