ベッセル関数
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定義
ベッセル方程式 下の微分方程式をν次のベッセル方程式と言う。
x2y′′+xy′+(x2−ν2)yx(xy′)′+(x2−ν2)yy′′+x1y′+(1−x2ν2)y=0=0=0
説明
関連する関数
第1種ベッセル関数
第1種ベッセル関数 ベッセル方程式の第一の解をJν(x)と書き、第1種ベッセル関数と呼ぶ。
Jν(x)=n=0∑∞Γ(n+1)Γ(n+ν+1)(−1)n(2x)2n+ν
J−ν(x)=n=0∑∞Γ(n+1)Γ(n−ν+1)(−1)n(2x)2n−ν
第2種ベッセル関数
第2種ベッセル関数 ベッセル方程式の第二の解をNν(x)=Yν(x)と言い、第2種ベッセル関数、ノイマン関数、ウェーバ関数と呼ぶ。νが整数でない場合
Nν(x)=Yν(x)=sin(νπ)cos(νπ)Jν(x)−J−ν(x)
νが整数の場合、極限で定義する。ν∈Zとa∈R∖{Z}について
Nν(x)=a→νlimNa(x)
第3種ベッセル関数
第3種ベッセル関数第1種ベッセル関数と第2種ベッセル関数の下のような線形結合を第3種ベッセル関数またはハンケル関数と呼ぶ。
Hp(1)(x)=Jp(x)+iNp(x)Hp(2)(x)=Jp(x)−iNp(x)
変形ベッセル関数
変形ベッセル方程式と変形ベッセル関数
下の微分方程式を変形ベッセル方程式と言う。
x2y′′+xy′−(x2−ν2)y=0
変形ベッセル方程式の解は下のようであり、変形ベッセル関数または双曲線ベッセル関数**と呼ばれる。
Iν(x)Kν(x)=i−νJν(ix)=2πiν+1[Jν(ix)+iNν(ix)]=2πiν+1Hp(1)(ix)=2πsin(νπ)I−ν(x)−Iν(x)
性質
対称性
整数νに対して以下の式が成立する。
J−ν(x)=(−1)νJν(x)
再帰関係
ベッセル関数の再帰関係
dxd[xνJν(x)]=xνJν−1(x)dxd[x−νJν(x)]=−x−νJν+1(x)Jν−1(x)+Jν+1(x)=x2νJν(x)Jν−1(x)−Jν+1(x)=2Jν′(x)Jν′(x)=−xνJν(x)+Jν−1(x)=xνJν(x)−Jν+1(x)
直交性
次のことが成立する。
∫01xJν(αx)Jν(βx)dx={021Jν+12(α)=21Jν−12(α)=21Jν′2(α)α=βα=β