📂複素解析

ML補助定理の証明

定理 ¹

関数$f$が積分経路$\mathscr{C}: z = z(t), t \in [a,b]$で部分的に連続だとしよう。正数$\displaystyle L = \int_{a}^{b} |z’(t)| dt$が$\mathscr{C}$の長さであり、$\mathscr{C}$上の全ての点において$|f(z)| \le M$を満たす正数$M$が存在する場合、 $$\left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML$$

証明

関数$z’: [a,b] \to \mathbb{C}$に対して$\displaystyle \left| \int_{a}^{b} z’(t) dt \right| = r$とする。

もし$r \ne 0$ならば、$\displaystyle \int_{a}^{b} z’(t) dt = r e^{i \theta}$と表せる。その結果、$\theta$は定数であるため、 $$r = \int_{a}^{b} e^{- i \theta} z’(t) dt \le \int_{a}^{b} \left| e^{- i \theta} z’(t) \right| dt = \int_{a}^{b} \left| e^{- i \theta} \right| \left| z’(t) \right| dt$$ ここで、複素数の実数根の絶対値は常に1であるため、$\left| e^{ - i \theta} \right| = 1$である。つまり、 $$\left| \int_{a}^{b} z’(t) dt \right| = r \le \int_{a}^{b} \left| z’(t) \right| dt$$ これによって、実関数で成立する定積分の性質が複素関数でも成立することがわかる。上で導かれた不等式を使用すると、 $$\begin{align*} \left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| =& \left| \int_{a}^{b} f(z(t)) z’(t) dt \right| \\ \le & \int_{a}^{b} \left| f(z(t)) \right| \left| z’(t) \right| dt \\ =& \int_{a}^{b} M \left| z’(t) \right| dt \\ =& ML \end{align*}$$

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説明

ML補題では、MはMaximum、LはLengthを意味する。

ML補題を使用する際に混乱しやすいのが、どのように$L$を選ぶかである。元の積分で$\mathscr{C}$が半径$r$の円として与えられ、置換すると積分区間が$[0,2\pi]$になることが多い。置換してからML補題を用いる場合、$L$は元の円の周囲である$2\pi r$ではなく、置換後の積分区間の長さである$2 \pi$を使用する必要がある。つまり、置換によって新たに生じた曲線（線分）である$\mathscr{C} '$に対してML補題を適用する必要があるという事実を忘れないように注意が必要である。