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関連ルジャンドル多項式

定義

関連するルジャンドル多項式は、以下の方法で定義される。

微分方程式の解として

下の関連するルジャンドル微分方程式の解は関連するルジャンドル多項式と呼ばれる。

$$\begin{align*} && (1-x^{2}) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2x \frac{dy}{dx} + \left[l(l+1) - \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] y &= 0 \\ \text{or} && \frac{d}{dx} \left[(1-x^{2})y^{\prime}\right] + \left[l(l+1) - \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] y &= 0 \end{align*}$$

ロドリゲスの公式

以下の多項関数 $P_{l}^{m}$を関連するルジャンドル多項式^{associated Legendre polynomial}と言う。

$$\begin{align*} P_{l}^{m}(x) &= (1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \\ &=(1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l\right] \end{align*}$$

この場合、$P_{l}$はルジャンドル多項式であり、上記の公式をロドリゲスの公式という。

説明

$m=0$の場合、関連するルジャンドル微分方程式はルジャンドル微分方程式になり、関連するルジャンドル多項式はルジャンドル多項式になる。つまり$P_{l}^{0}(x) = P_{l}(x)$である。ルジャンドル微分方程式とその解は関連するルジャンドル微分方程式の特別な場合に当てはまる。

性質

関連するルジャンドル微分方程式の三角関数形

三角関数で表される関連するルジャンドル微分方程式は以下の通り。

$$\begin{align*} \frac{ d^{2} y}{ d \theta^{2} }+\cot \theta \frac{ d y}{ d \theta}+ \left( l(l+1) -\frac{m^{2}}{\sin ^{2 }\theta} \right)y=0 \\ \mathrm{or} \quad\frac{1}{\sin \theta}\left(\sin \theta \frac{dy}{d\theta} \right)+ \left(l(l+1) -\frac{ m^{2}}{\sin ^{2} \theta} \right)y=0 \end{align*}$$

$m$の符号による関係式

関連するルジャンドル多項式は、$m$の符号によって下記の比例関係が成り立つ。(リンク)

$$P_{l}^{-m}(x)=(-1)^{m}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_{l}^{m}(x)$$

直交性

間隔$[-1,1]$で固定された$m$に対する関連するルジャンドル多項式は直交集合を形成する。(リンク)

$$\int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk}$$

$x=\cos \theta$の場合は、

$$\int_{0}^{\pi} P_{l}^{m}(\cos \theta)P_ {k}^{m}(\cos\theta)\sin \theta d\theta =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk}$$

正規化

正規化された関連するルジャンドル多項式は以下の通り。(リンク)

$$P_{l}^{m}(x) = \sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(x)$$