球面調和関数の正規化
定理
標準化された球面調和関数は以下の通りである。
$$ Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi} $$
$$ \nabla ^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 \phi}=0 $$
$$ f(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta (\theta)\Phi (\phi) $$
説明
球座標系におけるラプラス方程式で、極角$\theta$と方位角$\phi$に対する解を球面調和関数という。 $$ \Theta (\theta)\Phi (\phi)=Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos \theta) $$ 量子力学で球面調和関数を波動関数として扱う場合、標準化する必要がある。 $$ \iiint |R(r)\Theta (\theta) \Phi (\phi)|^{2}r^{2}\sin \theta dr d \theta d\phi=\int_{0}^{\infty}|R(r)|^{2}r^{2}dr\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}|Y_{l}^{m}(\theta,\phi)|^{2}\sin\theta d\theta d\phi=1 $$ ここで、球面調和関数の角度成分だけを取り出し、標準化定数を$C$とする。すると、 $$ \begin{align*} &&& |C|^{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}|Y_{l}^{m}(\theta,\phi)|^{2}\sin\theta d\theta d\phi=1 \\ \implies &&&|C|^{2}\int_{0}^{2\pi}|e^{im\phi}|^{2} d\phi\int_{0}^{\pi}|P_{l}^{m}(\cos \theta)|^{2}\sin\theta d\theta =1 \\ \implies &&&2\pi|C|^{2}\int_{0}^{\pi}|P_{l}^{m}(\cos \theta)|^{2}\sin\theta d\theta =1 \end{align*} $$ この時、$\theta$に対する積分は関連ルジャンドル多項式の直交性により$\frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}$であるため、 $$ C=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} $$ したがって、標準化された球面調和関数は以下の通りである。 $$ Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi} $$ 通常、量子力学で球面調和関数と言えば、特に断わりがない限り標準化されていると仮定される。