📂幾何学

ピタゴラスの定理の証明

概要

直角三角形において、斜辺の長さを$c$、残りの二辺の長さを$a,b$とすると、以下の式が成立する。 $$a^2 + b^2 = c^2$$

解説

あちこちで使われるのは二の次で、それ自体が非常に実用的な定理だ。最古の「証明」を残したのがピタゴラスだからその名前がついているが、実際に文明を成したと言える古代人たちのほとんどが、ファクト自体は知っていたと推測される。

ピタゴラスの定理には、知られているだけで400種類以上の証明がある。その中から、最古の定理、即ちピタゴラス本人が残した証明を学んでみよう。

証明

外側の正方形の一辺の長さは$(a+b)$で、内側の正方形の一辺の長さは$c$である。外側の正方形の面積は$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$である。それぞれの頂点を持つ直角三角形の面積は$\displaystyle {ab \over 2}$である。従って、内側の正方形の面積は $$(a+b)^2 - 4{ab \over 2} = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab$$ と言える。一方、内側の正方形の面積は$c^2$でもあるため、 $$a^2 + b^2 = c^2$$

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誰かがこの証明を「見てみろ」と要約できると言った。それくらい直感的で簡単なので、しっかりと見て、忘れないようにしよう。