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F分布の平均と分散 📂確率分布論

F分布の平均と分散

公式

X∼F(r1,r2)X \sim F ( r_{1} , r_{2}) 面積 E(X)=r2r2−2,r2>2Var⁡(X)=2d22(d1+d2−2)d1(d2−2)2(d2−4),r2>4 E(X) = {{ r_{2} } \over { r_{2} - 2 }} \qquad , r_{2} > 2 \\ \Var(X) = {{ 2 d_{2}^{2} (d_{1} + d_{2} - 2) } \over { d_{1} (d_{2} -2)^{2} (d_{2} - 4) }} \qquad , r_{2} > 4

導出

戦略：F-分布もまた、カイ二乗分布と同じく、既知の積率生成関数があるので、これらの式を使う。

F-分布の積率：X∼F(r1,r2)X \sim F(r_{1} , r_{2}) だとして、X=X1X2\displaystyle X = {{ X_{1} } \over { X_{2} }} のように表されるとしよう。X1X_{1} と X2X_{2} がそれぞれ自由度 d1,d2d_{1}, d_{2} のカイ二乗分布に従い、d2>2kd_{2} > 2k ならば kk次の積率が存在する EXk=(r2r1)kEX1kEX2−k EX^{k} = \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{k} E X_{1}^{k} E X_{2}^{-k}

カイ二乗分布の積率：X∼χ2(r)X \sim \chi^{2} (r) だとする。k>−r/2k > - r/ 2 ならば kk次の積率が存在する EXk=2kΓ(r/2+k)Γ(r/2) E X^{k} = {{ 2^{k} \Gamma (r/2 + k) } \over { \Gamma (r/2) }}

平均

r2>2r_{2} > 2 と仮定すると −k=−1>−r2/2-k = -1 > -r_{2} / 2 なので EX2−1EX_{2}^{-1} が存在する。

k=1k=1 ならば積率生成関数によると EX1=(r2r1)1EX11EX2−1=r2r121Γ(r1/2+1)Γ(r1/2)2−1Γ(r2/2−1)Γ(r2/2)=r2r12r11r2/2−1=r2r2−2 \begin{align*} EX^{1} =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{1} E X_{1}^{1} E X_{2}^{-1} \\ =& {{ r_{2} } \over { r_{1} }} {{ 2^{1} \Gamma (r_{1}/2 + 1) } \over { \Gamma (r_{1}/2) }} {{ 2^{-1} \Gamma (r_{2}/2 -1 ) } \over { \Gamma (r_{2}/2) }} \\ =& {{ r_{2} } \over { r_{1} }} 2r_{1} {{ 1 } \over { r_{2}/2 - 1 }} \\ =& {{ r_{2} } \over { r_{2} - 2 }} \end{align*}

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分散

r2>4r_{2} > 4 と仮定すると −k=−2>−r2/2-k = -2 > -r_{2} /2 なので EX2−2E X_{2}^{-2} が存在する。

k=2k=2 ならば積率生成関数によると EX2=(r2r1)2EX12EX2−2=(r2r1)222Γ(r1/2+2)Γ(r1/2)2−2Γ(r2/2−2)Γ(r2/2)=(r2r1)2(r1/2+1)r1/2(r2/2−1)(r2/2−2)=(r2r1)2(r1+2)r1(r2−2)(r2−4)=r22(r1+2)r1(r2−2)(r2−4) \begin{align*} EX^{2} =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} E X_{1}^{2} E X_{2}^{-2} \\ =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} {{ 2^{2} \Gamma (r_{1}/2 + 2) } \over { \Gamma (r_{1}/2) }} {{ 2^{-2} \Gamma (r_{2}/2 -2 ) } \over { \Gamma (r_{2}/2) }} \\ =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} {{ (r_{1}/2+1)r_{1}/2 } \over { (r_{2}/2-1) (r_{2}/2-2) }} \\ =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} {{ (r_{1}+2)r_{1} } \over { (r_{2}-2) (r_{2}-4) }} \\ =& {{ r_{2}^{2} (r_{1}+2) } \over { r_{1} (r_{2}-2) (r_{2}-4) }} \end{align*} よって Var⁡(X)=r22(r1+2)r1(r2−2)(r2−4)−[r2r2−2]2=r22r1(r2−2)2(r2−4)[(r1+2)(r2−2)−r1(r2−4)]=2r22(r1+r2−2)r1(r2−2)2(r2−4) \begin{align*} \Var(X) =& {{ r_{2}^{2} (r_{1}+2) } \over { r_{1} (r_{2}-2) (r_{2}-4) }} - \left[ {{ r_{2} } \over { r_{2} - 2 }} \right]^{2} \\ =& {{ r_{2}^{2} } \over { r_{1} (r_{2} -2)^{2} (r_{2} - 4) }} \left[ (r_{1} + 2)(r_{2} - 2) - r_{1}(r_{2} - 4) \right] \\ =& {{ 2 r_{2}^{2} (r_{1} + r_{2} - 2) } \over { r_{1} (r_{2} -2)^{2} (r_{2} - 4) }} \end{align*}

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