F分布の平均と分散
公式
$X \sim F ( r_{1} , r_{2})$ 面積 $$ E(X) = {{ r_{2} } \over { r_{2} - 2 }} \qquad , r_{2} > 2 \\ \operatorname{Var}(X) = {{ 2 d_{2}^{2} (d_{1} + d_{2} - 2) } \over { d_{1} (d_{2} -2)^{2} (d_{2} - 4) }} \qquad , r_{2} > 4 $$
導出
戦略：F-分布もまた、カイ二乗分布と同じく、既知の積率生成関数があるので、これらの式を使う。
F-分布の積率：$X \sim F(r_{1} , r_{2})$ だとして、$\displaystyle X = {{ X_{1} } \over { X_{2} }}$ のように表されるとしよう。$X_{1}$ と $X_{2}$ がそれぞれ自由度 $d_{1}, d_{2}$ のカイ二乗分布に従い、$d_{2} > 2k$ ならば $k$次の積率が存在する $$ EX^{k} = \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{k} E X_{1}^{k} E X_{2}^{-k} $$
カイ二乗分布の積率：$X \sim \chi^{2} (r)$ だとする。$k > - r/ 2$ ならば $k$次の積率が存在する $$ E X^{k} = {{ 2^{k} \Gamma (r/2 + k) } \over { \Gamma (r/2) }} $$
平均
$r_{2} > 2$ と仮定すると $-k = -1 > -r_{2} / 2$ なので $EX_{2}^{-1}$ が存在する。
$k=1$ ならば積率生成関数によると $$ \begin{align*} EX^{1} =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{1} E X_{1}^{1} E X_{2}^{-1} \\ =& {{ r_{2} } \over { r_{1} }} {{ 2^{1} \Gamma (r_{1}/2 + 1) } \over { \Gamma (r_{1}/2) }} {{ 2^{-1} \Gamma (r_{2}/2 -1 ) } \over { \Gamma (r_{2}/2) }} \\ =& {{ r_{2} } \over { r_{1} }} 2r_{1} {{ 1 } \over { r_{2}/2 - 1 }} \\ =& {{ r_{2} } \over { r_{2} - 2 }} \end{align*} $$
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分散
$r_{2} > 4$ と仮定すると $-k = -2 > -r_{2} /2$ なので $E X_{2}^{-2}$ が存在する。
$k=2$ ならば積率生成関数によると $$ \begin{align*} EX^{2} =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} E X_{1}^{2} E X_{2}^{-2} \\ =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} {{ 2^{2} \Gamma (r_{1}/2 + 2) } \over { \Gamma (r_{1}/2) }} {{ 2^{-2} \Gamma (r_{2}/2 -2 ) } \over { \Gamma (r_{2}/2) }} \\ =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} {{ (r_{1}/2+1)r_{1}/2 } \over { (r_{2}/2-1) (r_{2}/2-2) }} \\ =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} {{ (r_{1}+2)r_{1} } \over { (r_{2}-2) (r_{2}-4) }} \\ =& {{ r_{2}^{2} (r_{1}+2) } \over { r_{1} (r_{2}-2) (r_{2}-4) }} \end{align*} $$ よって $$ \begin{align*} \operatorname{Var}(X) =& {{ r_{2}^{2} (r_{1}+2) } \over { r_{1} (r_{2}-2) (r_{2}-4) }} - \left[ {{ r_{2} } \over { r_{2} - 2 }} \right]^{2} \\ =& {{ r_{2}^{2} } \over { r_{1} (r_{2} -2)^{2} (r_{2} - 4) }} \left[ (r_{1} + 2)(r_{2} - 2) - r_{1}(r_{2} - 4) \right] \\ =& {{ 2 r_{2}^{2} (r_{1} + r_{2} - 2) } \over { r_{1} (r_{2} -2)^{2} (r_{2} - 4) }} \end{align*} $$
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