コーシー・リーマン方程式の逆が成立する条件
定理
複素領域 $A \subseteq \mathbb{C}$ で定義された複素関数 $f: A \to \mathbb{C}$ が実数値をとる関数 $u,v$ について $$ f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) $$ と表せるし、$u,v$ が $x,y$ に対して連続な一階偏微分関数を持ち、同時に連立微分方程式 $$ \begin{cases} u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y) \\ u_{y} (x,y) = -v_{x} (x,y) \end{cases} $$ を満たすならば、$f$ は $A$ で解析的である。
説明
解析学はいつもこうやって言葉が長くて読むのも嫌な問題がある。簡単にまとめると、コーシー・リーマン方程式の逆が成り立とうとするなら、偏微分関数が連続でなければならないということだ。当然、我々が扱うほとんどの関数はこの条件を簡単に満たす。
証明
Part 1. $u_{x}, u_{y}$ の形
一般性を失わずに二つの実数 $\alpha , \beta > 0$ に対して$h := \alpha + i \beta$ と置くと $f$ に対して $$ f(z+h) - f(z) = [ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) ] + i [ v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) ] $$ を得る。同様に一般性を失わずに $u$ だけを考えれば、平均値の定理により $$ \begin{align*} & u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) \\ =& u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta) + u(x,y+\beta) - u(x,y) \\ =& [u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta)] + [u(x,y+\beta) - u(x,y)] \\ =& \alpha u_{x} (x+\theta \alpha,y+\beta) + \beta u_{y} (x,y+\phi \beta) \end{align*} $$ を満たす $0<\theta<1$ と $0<\phi<1$ が存在する。
平均値の定理: 関数 $f(x)$ が $[a,b]$ で連続であり、$(a,b)$ で微分可能であるならば、$\displaystyle f '(c)={{f(b)-f(a)}\over{b-a}}$ を満たす $c$ が $(a,b)$ に少なくとも一つ存在する。
ここで $\theta \in (0,1)$ と置くのは $u \left( x , y + \beta \right)$ が $\left[ x , x + \alpha \right]$ で平均値の定理を使うとき $$ \begin{align*} {{ \partial u } \over { \partial x }} \left( c , y + \beta \right) =& {{ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta) } \over { \left( x + \alpha \right) - x }} \\ \implies \alpha u_{x} \left( c , y + \beta \right) =& u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta) \end{align*} $$ として $c \in \left( x , x + \alpha \right)$ を $x$ と $\left( x + \alpha \right)$ の間の数 $x + \theta \alpha$ として表せるからである。
Part 2. $f ' (z)$ の形
今、ある $\varepsilon_{1}$ と $\varepsilon_{2}$ に対して $$ \begin{align*} u_{x} (x+\theta \alpha,y+\beta) =& u_{x} + \varepsilon_{1} \\ u_{y} (x,y+\phi \beta) =& u_{y} + \varepsilon_{2} \end{align*} $$ と置くと、仮定で $u_{x}$ と $u_{y}$ が連続だとしたので、$(\alpha,\beta) \to 0$ の時 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \to 0$ になる。（この部分で連続性が必要である。）したがって $$ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) = \alpha u_{x} + \beta u_{y} + \alpha \varepsilon_{1} + \beta \varepsilon_{2} $$ であり、同じ方法で $v$ もある $\eta_{1}$ と $\eta_{2}$ に対して $$ v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) = \alpha v_{x} + \beta v_{y} + \alpha \eta_{1} + \beta \eta_{2} $$ と置くことができる。再び $f(z+h) - f(z)$ に戻ると、$u,v$ がコーシー・リーマン方程式を満たしているので $$ \begin{align*} & f(z+h) - f(z) \\ =& [ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) ] + i [ v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) ] \\ =& [\alpha u_{x} + \beta u_{y} + \alpha \varepsilon_{1} + \beta \varepsilon_{2}] + i [\alpha v_{x} + \beta v_{y} + \alpha \eta_{1} + \beta \eta_{2}] \\ =& h(u_{x} + i v_{x}) + \alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2} \end{align*} $$ であり、ここで $\xi_{1} := \varepsilon_{1} + \eta_{1}$ であり、$\xi_{2} := \varepsilon_{2} + \eta_{2}$ である。今 $$ f ' (z) = \lim_{h \to 0} {{f(z+h) - f(z)} \over h} = \lim_{h \to 0} \left( u_{x} + i v_{x} + {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} \right) $$ なので、$\lim_{h \to 0} {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} = 0$ を示せば証明が完了する。
Part 3. $\displaystyle \lim_{h \to 0} {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} = 0$
不等式 $$ \left| {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over {h}} \right| \le { {\max (|\alpha|,|\beta|)} \over {\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} } |\xi_{1} + \xi_{2}| \le |\xi_{1} + \xi_{2}| \le |\xi_{1}| + |\xi_{2}| $$ から $$ \lim_{h \to 0} \xi_{1} = 0 \\ \lim_{h \to 0} \xi_{2} = 0 $$ であるため、次のことが成立する。 $$ \lim_{h \to 0} {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} = 0 $$
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リニューアル
- 23年8月19日、リュデシク、平均値の定理に関連する内容を集中強化