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ガビの李証明 📂レンマ

ガビの李証明

概要

$bdf(b+d)\neq 0$ だったら、 $$ \frac { a }{ b }=\frac { c }{ d }=\frac { e }{ f } \implies \frac { a+c }{ b+d }=\frac { e }{ f } $$

説明

「加比」は他ではなく、二つの漢字、加える「加」と比べる「比」から成る言葉だ。ここでの比べる「比」は、比率をする時のその比で、名前に全てが込められた定理だ。

証明

$$ \frac { a }{ b }=\frac { c }{ d }=\frac { e }{ f } $$

従って、$\frac { a }{ b }=\frac { e }{ f }$ であり、$\frac { c }{ d }=\frac { e }{ f }$ である。$\frac { a }{ b }=\frac { e }{ f }$ の両辺に $bf$ を掛けると

$$ \frac { c }{ d }=\frac { e }{ f } $$

そして、$\frac { c }{ d }=\frac { e }{ f }$ の両辺に $df$ を掛けると

$$ cf=de $$

上で得た二つの式の両辺を足すと

$$ (a+c)f=(b+d)e $$

両辺を $(b+d)f$ で割ると

$$ \frac { a+c }{ b+d }=\frac { e }{ f } $$