📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間の正規直交基底とユニタリ作用素

定義

ヒルベルト空間 $H$ の シャウダー基底 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ が 正規直交系 である場合、$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ を $H$ の 正規直交基底^{orthonormal Basis} と呼ぶ。

定理¹

正規直交基底の同値条件

• [1]: $H$ が ヒルベルト空間 だとする。$H$ の 正規直交系 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ に対して、以下はすべて 同値 である。
  • (i): $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ は $H$ の 正規直交基底 である。
  • (ii): すべての $\mathbf{x}\in H$ に対して $$ \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k} $$
  • (iii): すべての $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in H$ に対して $$ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \langle \mathbf{e}_{k} , \mathbf{y} \rangle $$
  • (iv): すべての $\mathbf{x}\in H$ に対して $$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2} $$
  • (v): $\overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H$
  • (vi): $\mathbf{x}\in H$ で、すべての $k \in \mathbb{N}$ に対して $\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle = 0$ ならば $\mathbf{x}= \mathbf{0}$

ユニタリ作用素と正規直交基底

• [2]: $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ を $H$ の正規直交基底とする。すると、$H$ の正規直交基底は、ユニタリ作用素 $U : H \to H$ に関して、正確に $\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ として表される。

説明

特に、定理 [2] のような結果を持って、$H$ のすべての正規直交基底がユニタリ作用素 $U$ によって 特徴付けられる と言う。

証明

[1] の証明は参考文献を参照。

[2]

$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ もまた、$H$ の正規直交基底とする。作用素 $U : H \to H$ を次のように定義する: $$ U \left( \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{e}_{k} \right) := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k} \qquad , \forall {c_{k}}_{k \in \mathbb{N}} \in l^{2} $$ この場合、$U$ は有界で全単射であり、$\mathbf{v}_{k} = U \mathbf{e}_{k}$ である。

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ が $H$ の正規直交基底であるため、(i) $\implies$ (ii) に従て、$\mathbf{v} ,\mathbf{w} \in H$ を次のように表せる：

$$ \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \\ \mathbf{w} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} $$

すると、$U$ の定義と (i) $\implies$ (iii) により、

$$ \begin{align*} \left\langle U^{ \ast } U \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle =& \left\langle U \mathbf{v} , U \mathbf{w} \right\rangle \\ =& \left\langle \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} , \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \right\rangle \\ =& \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \overline{\left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle} \\ =& \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle \end{align*} $$

つまり、$U^{ \ast } U = I$ ので、$U$ はユニタリ作用素であり、逆作用素 $U^{-1} = U^{ \ast }$ を持つ全単射である。一方、$U$ がユニタリである仮定から、

$$ \left\langle U \mathbf{e}_{i} , U \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \left\langle U^{ \ast } U \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \delta_{ij} $$

すなわち、$\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ は正規直交集合である。これが $H$ の基底になるためには、すべての $k \in \mathbb{N}$ に対して $\left\langle \mathbf{v} , U \mathbf{e}_{k} \right\rangle = 0$ と仮定する。すると、すべての $k \in \mathbb{N}$ に対して $\left\langle U^{ \ast } \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle = 0$ よって、$U^{ \ast } \mathbf{v} = \mathbf{0}$ でなければならない。先に $U^{ \ast } = U^{-1}$ を示したので、両辺に $U$ を適用すれば、$\mathbf{v} = \mathbf{0}$ を得る。結果的に、(vi) $\implies$ (i) に従って、$\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ が $H$ の正規直交基底になることが確認できる。

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