📂ヒルベルト空間

ベクトル空間の再構成

定義 ¹

ベクトル空間 $V$のシーケンス $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$が与えられたとしよう。与えられた全単射 $\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$に対して、以下を$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$のリオーダリング^reorderingという。

$$ \left\{ \mathbf{v}_{\sigma (k) } \right\}_{k \in \mathbb{N}} = \left\{ \mathbf{v}_{\sigma (1)} , \mathbf{v}_{\sigma (2)} , \cdots \right\} $$

説明

リオーダリングは順列^permutationとも呼ばれているが、見ての通り難しい概念ではなく、単に順序を変えただけのことである。ベクトル空間では加法は通常、交換法則を満たすが、無限級数に対してもそのような性質が悠々と使えるかについての保証がないため、このような定義をわざわざ述べるのだ。

$$ \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{\sigma (k)} \right\rangle \mathbf{e}_{\sigma (k)} $$

ヒルベルト空間 $H$では、上のような級数展開が$\sigma$、すなわち$\mathbf{e}_{k}$の順序に関係なく、すべての$\mathbf{v} \in H$に対して成立するとき無条件に収束する^{converges unconditionally}という。幸いにも、ヒルベルト空間の正規直交基底の独立性が順序に関係ないことを知っている。したがって、次の定理を考えることができる。

定理

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$がヒルベルト空間$H$の正規直交基底であれば、すべての$\mathbf{v} \in H$に対して

$$ \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} $$

は無条件に収束する。

証明

正規直交基底の独立性は順序に依存しない。

正規直交基底の同値条件：$H$がヒルベルト空間だとする。$H$の正規直交システム $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$に対して、以下はすべて同値だ。

• (i): $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$は$H$の正規直交基底である。
• (ii): すべての$\mathbf{x}\in H$に対して $$ \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k} $$

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$がヒルベルト空間$H$の正規直交基底であるため、すべての$\mathbf{v} \in H$に対して

$$ \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} $$

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