📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間における密な部分空間を持つベッセル列

定理¹

ヒルベルト空間 $H$が与えられたとき、$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$と$\overline{V} = H$である$V \subset H$が次を満たすとする。

$$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \qquad , \mathbf{v} \in V $$

すると、$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$はベッセル境界$B$のベッセル列である。

説明

もともとベッセル列は、すべての$\mathbf{v} \in H$で不等式を満たさなければならなかったが、$\overline{V} = H$により、そのような条件が緩和され、$\mathbf{v} \in V$でのみ満たせば十分になった。特に$H$がポーランド空間であれば、自然に条件を満たす。

証明

$\mathbf{v} \in H$とすると、$H$が可分空間であるため、$\mathbf{w}_{l} \to \mathbf{v}$を満たす$\left\{ \mathbf{w}_{l} \right\}_{l \in \mathbb{N}} \subset V$が存在する。各$l \in \mathbb{N}$とすべての$n \in \mathbb{N}$について

$$ \sum_{k=1}^{n} \left| \left\langle \mathbf{w}_{l} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{w}_{l} \right\|^{2} $$

すると、$l \to \infty$を取れば

$$ \sum_{k=1}^{n} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} $$

これはすべての$n \in \mathbb{N}$に対して成り立つため、$n \to \infty$を取れば

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} $$

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