量子力学における交換子とは？
定義
二つの演算子 $A, B$に対して、$AB - BA$を$A, B$の交換子と定義し、次のように表記する。
$$ [A,B]=AB-BA $$
説明
最初に交換子の定義に接すると、$AB - BA = 0$ではないかと疑問が生じることもある。しかし、演算子は行列で表現されるので、二つの行列の積は交換法則が成り立たず、掛ける順序によって異なる結果が生じる可能性がある。
量子力学を勉強するためには、ベクトルと行列、内積についての一般化が必要だ。演算子もベクトル（行列）なので行列として表現できる。交換子が$0$である二つの演算子を互いに交換可能commuteと言う。交換子を使用する理由は計算を速くするためだ。例えば、$P$を運動量演算子、$X$を位置演算子としよう。波動関数$\psi$に対して、次の式が与えられるとしよう。
$$ PX \psi - XP\psi = [P, X]\psi $$
もし$[P, X]$の値を知らなければ、左辺で見られる通りに解かなければならない。$\psi$に$X$を適用し、次に$P$を適用する（第一項）と、$\psi$に$P$を適用し、次に$X$を適用する（第二項）を引かなければならないので、計算が長くなる。しかし、$[P, X]$の値を知っていれば、右辺のように煩雑な計算過程が減る。これら二つの交換子は$[P, X] = -\i\hbar$なので、答えがすぐに$-\i\hbar \psi$と分かる。
反交換子
一方、反交換子を次のように定義する。
$$ \left\{A,B\right\}=AB+BA $$