📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間における直交射影

定義¹

ヒルベルト空間 $H$ の閉じた部分空間 $V$ が与えられているとする。

$\mathbf{v} \in H$ が $\mathbf{v}_{1} \in V$ と $\mathbf{v}_{2} \in V^{\perp}$ に対して $\mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}$ として表されるとき、次を満たす 全射 $P :H \to V$ を直交射影と呼ぶ。

$$ P \mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} $$

説明

直交射影は以下の性質を持つ。

• $P$ は線形で、有界であり、$| P | = 1$。
• $P$ は自己随伴作用素、つまり $P^{ \ast } = P$。
• $P$ は冪等、つまり $P^{2} = P$。

ヒルベルト空間への直交射影の拡張は、自然に行列代数での直交射影をカバーし、その定義から少し抽象性が強く感じられるだろう。

定理

ヒルベルト空間 $H$ の閉じた部分空間 $V$ の[正規直交基底] $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ が与えられているとする。全ての$\mathbf{v} \in H$ に対して直交射影 $P : H \to V$ は以下のように表せる。

$$ P \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} $$

証明

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$が $V$ の基底であるので、$P \mathbf{v} \in V$は $a_{1} = \cdots = 0$ ではない $\left\{ a_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} \subset \mathbb{C}$ に対して以下のように表される。

$$ P \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k} $$

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ の直交性により $\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{i} \right\rangle = 1$ で、$i \ne j$ に対して $\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = 0$ であるため、

$$ \left\langle P \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2} $$

一方で、$P \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k}$ から $P^{ \ast }=P$ と $P^{2} = P$ により、

$$ \left\langle P \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} ,P^{ \ast }P \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle $$

つまり、

$$ \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle $$

要約すれば、

$$ \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left( a_{k} - \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \right) = 0 $$

したがって、全ての $k \in \mathbb{N}$ に対して $a_{k} = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle$ が成り立たなければならない。

$$ P \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \qquad , \mathbf{v} \in H $$

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参照

• 線型代数学での直交射影