📂整数論

ゼルバーグの恒等式の証明

定理 ¹

$$ \Lambda (n) \log n + \sum_{d \mid n } \Lambda (d) \Lambda \left( {{ n } \over { d }} \right) = \sum_{d \mid n} \mu (d) \log^{2} {{ n } \over { d }} $$

証明

ストラテジー：見た目ほど難しくない。算術関数の微分があれば、非常に簡単に導出できる。

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マンゴルト級数: $$ \sum_{d \mid n} \Lambda ( d ) = \log n $$

算術関数の微分の定義に従って、マンゴルト級数は畳み込みを使って以下のように表すことができる。 $$ \Lambda \ast\ u = 1 \cdot \log n = u \log n = u ' $$ 両辺を微分すると、積の微分法則に従って $$ \Lambda’ \ast\ u + \Lambda \ast\ u ' = u '' $$ $\Lambda \ast\ u = u '$だったので $$ \Lambda’ \ast\ u + \Lambda \ast\ (\Lambda \ast\ u) = u '' $$ メビウス関数$\mu$は単位関数$u$の逆関数なので、両辺に$\mu$を掛けると $$ \Lambda ’ + \Lambda^{2} = u '' \ast\ \mu $$

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