解析的数論におけるユニット関数
📂整数論解析的数論におけるユニット関数
定義
次のように定義された算術関数 u をユニット関数という。
u(n):=1
基本性質
- [1] ユニット級数:約数の数に等しい σ0。つまり、
d∣n∑u(d)=σ0(n)
- [2] 完全乗法性:全ての m,n∈N に対して u(mn)=u(m)u(n)
説明
nu(n)∑d∣nu(d)1112123124135126147128149131014
ユニット関数という名前からわかるように、とても重要な関数である。畳み込みを考えると、任意の算術関数 f の級数 F は実際には次のように表される。
f∗ u=F
証明
[1]
d∣n∑u(d)=d∣n∑1=σ0(n)
約数関数の定義により自明である。
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[2]
u(mn)=1=1⋅1=u(m)u(n)
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