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解析的数論におけるユニット関数 📂整数論

解析的数論におけるユニット関数

定義 1

次のように定義された算術関数 uuユニット関数という。 u(n):=1 u(n) := 1

基本性質

  • [1] ユニット級数:約数の数に等しい σ0\sigma_{0}。つまり、 dnu(d)=σ0(n) \sum_{d \mid n} u(d) = \sigma_{0} (n)
  • [2] 完全乗法性:全ての m,nNm,n \in \mathbb{N} に対して u(mn)=u(m)u(n)u(mn) = u(m) u(n)

説明

n12345678910u(n)1111111111dnu(d)1223242434 \begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ u (n) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \sum_{d \mid n} u(d) & 1 & 2 & 2 & 3 & 2 & 4 & 2 & 4 & 3 & 4 \end{matrix} ユニット関数という名前からわかるように、とても重要な関数である。畳み込みを考えると、任意の算術関数 ff の級数 FF は実際には次のように表される。 f u=F f \ast\ u = F

証明

[1]

dnu(d)=dn1=σ0(n) \sum_{d \mid n} u(d) = \sum_{d \mid n} 1 = \sigma_{0} (n) 約数関数の定義により自明である。

[2]

u(mn)=1=11=u(m)u(n) u(mn) = 1 = 1 \cdot 1 = u(m) u(n)


  1. Apostol. (1976). Introduction to Analytic Number Theory: p31. ↩︎