📂整数論

乗法的関数のアーベル群

定理¹

乗法的関数の集まり $M$と二項演算 $\ast$について $(M,*)$はアーベル群だ。

説明

算術関数の集合 $A$がコンボリューション $\ast$ とともに アーベル群 $(A,*)$となるように、乗法的関数もアーベル群となる。もちろん $M \le A$、すなわち $M$ が $A$ のサブグループになる。

証明

モノイド $\left< G, \ast\ \right>$の元 $a$と単位元 $e$に関して$a \ast\ a’ = a’ \ast\ a = e$を満たす$a '$が存在する場合、$\left< G, \ast\ \right>$を群^groupと定義する。すなわち、群は以下の性質を満たす二項演算構造だ。

• (i): 演算に対して結合律が成立する。
• (ii): すべての元に対して単位元が存在する。
• (iii): すべての元に対して逆元が存在する。

ここに、次の条件を追加的に満たす場合、アーベル群と言う。

• (iv): 演算に対して交換律が成立する。

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Part (i), (iv). 結合律と交換律

コンボリューションの性質

• 結合律: $\left( f \ast g \right) \ast k = f \ast (g \ast k)$
• 交換律: $f \ast\ g = g \ast\ f$

乗法的関数は算術関数であり、すべての算術関数は結合律と交換律を満たす。

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Part (ii). 単位元

アイデンティティ: 以下のように定義された算術関数 $I$ をアイデンティティ関数という。 $$I(n) := \left[ {{ 1 } \over { n }} \right]$$

$$I(mn) = I(m) I(n) = \begin{cases} 1 &, m = n = 1 \\ 0 & , \text{otherwise} \end{cases}$$ であるから、完全乗法的関数であり、当然 $I \in M$ である。すべての算術関数に対して アイデンティティ $M$ は次を満たすために $( M,*)$ の単位元として存在する。 $$I \ast\ f = f \ast\ I = f$$

コンボリューションに関する乗法的性質:

• [1]: $f$ と $g$ が乗法的関数ならば $f \ast\ g$ も乗法的関数だ。
• [2]: $g$ と $f \ast g$ が乗法的関数ならば $f$ も乗法的関数だ。

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Part (i). $\ast$に対して閉じている

コンボリューションに関する乗法的性質 [1]によれば$M$は$\ast$に対して閉じている。

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Part (iv). 逆元

乗法的関数の性質: $f$ が乗法的ならば $f(1) = 1$ である。

コンボリューションにおけるインバース: 算術関数 $f$ が $f(1) \ne 0$ を満たす場合、そのインバース$f^{-1}$ は唯一存在する。

乗法的関数 $f$ は算術関数であり、乗法的関数の性質により$f(1) \ne 0$を満たすため、インバース$f^{-1}$が存在する。一方、**Part (iii).**で $f \ast\ f^{-1} = I \in M$ であり、コンボリューションに関する乗法的性質 [2]により、$f \ast\ g = I$ を満たす $g = f^{-1}$ は乗法的関数でなければならない。つまり、乗法的関数$f \in M$に対してインバース$f^{-1} \in M$は唯一存在する。

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