オイラー・マスケローニ定数の収束性の証明
定理
$$ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \left( { 1 \over k } \right) - \ln{n} \right) = 0.577215664 \cdots $$
説明
リーマン・ゼータ関数と関連づけると$\gamma$ $0$番目のスティルチェス定数 $\gamma_{0}$であることもある。$\gamma$は短くオイラー定数とも呼ばれ、ガンマ関数と深い関係がある。正確な値はさておき、とりあえず収束はするのだろうか？$\ln{n}$と調和級数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left( { 1 \over k } \right)$ が発散するので $$ \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \left( { 1 \over k } \right) - \ln{n} \right) $$ の存在が自明ではない。
ちなみにこの数は世に出てから300年近く経つが、まだ有理数か無理数かは分かっていない。
証明
シーケンス $\displaystyle \gamma _{n} := \sum_{k=1}^{n} \left( { 1 \over k } \right) - \ln{n}$を考えよう。
$\gamma_{1} = 1$であり、
$$ \Gamma_{n} = \sum_{k=1}^{n-1} \left( { 1 \over k } \right) - \int_{1}^{n} {{1} \over {x}} dx + {{1} \over {n}} $$
グラフで表すと、$\gamma_{n}$は$\displaystyle y = {1 \over x}$の上の面積を$x=1$から$x=n$まで全て足し、それに$\displaystyle {{1} \over {n}}$を足したものと同じだ。
$$ \sum_{k=1}^{n-1} \left( { 1 \over k } \right) - \int_{1}^{n} {{1} \over {x}} dx > 0 $$
だから、$ \gamma _{n} > 0$である。一方、
$$ \begin{align*} \gamma_{n+1} =& \sum_{k=1}^{n+1} {{1} \over {k}} +0 - \ln (n+1) \\ =& \sum_{k=1}^{n} {{1} \over {k}} + { 1 \over {n+1} } + \left( \ln n - \ln n \right) - \ln (n+1) \\ =& \sum_{k=1}^{n} {{1} \over {k}} - \ln n + { 1 \over {n+1} } + \ln n - \ln (n+1) \\ =& \gamma_{n} + { 1 \over {n+1} } - \ln {{n+1} \over {n}} \\ =& \gamma_{n} + { 1 \over {n+1} } - \int_{n}^{n+1} { 1 \over x } dx \end{align*} $$
$\displaystyle { 1 \over {n+1} } < \int_{n}^{n+1} { 1 \over x } dx$であるので、
$$ \Gamma_{n+1} = \gamma_{n} + { 1 \over {n+1} } - \int_{n}^{n+1} { 1 \over x } dx < \gamma_{n} $$
つまり、$\gamma_{n}$は減少数列である。自然数 $n$に対して$\gamma _{n} > 0$が成立し$\gamma _{n}$が減少数列であるので、$\gamma _{n}$は収束する。
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