二次関数のよく使われる定積分
式
$$ \int _{ \alpha }^{ \beta }{ (x-\alpha )(x-\beta )dx }=-\frac { { (\beta -\alpha ) } ^ { 3 } }{ 6 } $$
説明
問題を解いていると、思ったよりこの形の定積分をすることが多い。解を早く出すこと以外に全く役に立たない式で、導出もただの計算にすぎない。形だけしっかり覚えて、すぐに使えるようにしよう。
導出
$$ \begin{align*} & \int _{ \alpha }^{ \beta }{ (x-\alpha )(x-\beta )dx } \\ =& \int _{ \alpha }^{ \beta }{ { {x }^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta }dx } \\ =& \frac { \beta^3-{ \alpha^3 } }{ 3 }-(\alpha +\beta )\frac { \beta^2-\alpha^2}{ 2 }+\alpha \beta (\beta -\alpha ) \\ =& \frac { 2\beta^3-2\alpha^3-3\beta^3-3\alpha \beta^2+3\alpha^2\beta +3\alpha^3+6\alpha \beta^2-6\alpha^2\beta }{ 6 } \\ =& \frac { 2\beta^3-3\beta^3+3\alpha^3-2\alpha^3+6\alpha \beta^2-3\alpha \beta^2+3\alpha^2\beta -6\alpha^2\beta }{ 6 } \\ =& \frac { - \beta^3 + \alpha^3 + 3\alpha \beta^2 + - 3 \alpha^2\beta }{ 6 } \\ &=-\frac { { (\beta -\alpha ) } ^ { 3 } }{ 6 } \end{align*} $$
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