アトラクターのカオス 📂動力学

アトラクターのカオス

定義 ¹

空間 $X = \left( \mathbb{R}^{n} , \left\| \cdot \right\| \right)$ とスムーズな関数 $f,g : X \to X$ に対して、ベクトル場、マップが次のように表現されるとしよう。
$$ \dot{x} = f(x) \\ x \mapsto g(x) $$
$\phi (t, \cdot)$ はベクトル場 $\dot{x} = f(x)$ のフローであり、$g^{n}$ はマップ $g$ を $n$ 回取ったマップを示し、$\Lambda \subset X$ が $\phi (t, \cdot)$ または $g(\cdot)$ の下で不変でコンパクトな集合であるとしよう。$\Lambda$ が次の二つの条件を満たすとき、ケアリック^chaotic であると言う:

(i): $\phi (t,x)$ または $g(x)$ が $\Lambda$ で初期条件に敏感である。
(ii): $\phi (t,x)$ または $g(x)$ が $\Lambda$ で位相的に推移的である。

いくつかの文献では、次の第三の条件を追加することもある。

(iii): $\phi (t,x)$ または $g(x)$ の周期軌道が $\Lambda$ で密である。

説明

直感的説明

カオス理論でケアリックアトラクターとは、その分野の名前となるほど重要で注目される概念である。ただし、数学的・理論的に非常に進化しているために直感的に理解するのが難しい場合もある。次のGIFを見てみよう:

$lorenz\_attractor.gif$

このGIFはローレンツアトラクターの軌道^trajectory を描き出している。最初は左側でのみ次第に大きく回転するように見えるが、ある瞬間からまるで規則もなく左右を縦横に飛び交い、同じ場所を通り過ぎることはなく、どこか遠くに行くこともない。これは動力学で注目されるケイオス^chaosの代表的な例である。

これが周期軌道を表さないということは、空間上の点が似たところを回っているように見えても、かつてあった点には再び戻らないことを意味する。この点が描く「蝶の形の軌道」がまさに奇妙なアトラクターである。

数式的説明

コンパクトという条件がない場合、下記の条件を満たしながらも未来が見える反例が多く生まれる。素朴な例として $a>0$ に対して $\dot{x} = ax$ などのシステムがあるなら、そのソリューションは $\phi (t,x) = e^{at} x$ となるので初期値に敏感である。しかし、あまりにも無限大に発散することを混沌と呼ぶのはおかしい。

(i): 動力学系は決定論的^{deterministic} であるため、初期値に敏感ということが未来についての「不確実性」を意味することになる。非専門家の間でカオス理論といえばよく持っている幻想である「バタフライ理論」、つまり「蝶の羽ばたきが地球の反対側で嵐になるかもしれない」という言葉を淡々と誇張せずに数式で書き下したものである。
(ii): 位相的に推移的というのは簡単に言えば、$\Lambda$ 内のどんな点でもシステムによって $\Lambda$ のどこからでも来ることができ、どこへでも行くことができるということだ。この条件がなければ、ある一貫した流れに従って一点に収束ないし発散する、整理されたシステムも混沌であると言うことになってしまう。
(iii): 著者によってはこの条件をわざわざ入れない場合もある。このことが人によって異なるかもしれないということが奇妙に見えるかもしれないが、それだけ混沌というもの自体が言葉では表し難いことを考慮しよう。「周期軌道」という言葉自体がすでにその軌道が混乱していないと見えるかもしれないが、上記の二つの条件を守る限り必ずしもそうではない。この軌道が $\Lambda$ で密であるということは、もしその中の周期軌道であるなら少なくとも $\Lambda$ においては特に「隙間」と呼べる部分がないように $\Lambda$ の隅々をすべてかき回していかなければならないという意味になる。逆に言えば、この条件を満たすために $\Lambda$ 内の固定点を除外する形で反例を除去することもできる。