📂整数論

ディリクレ積に関する恒等式

定義 ¹

以下のように定義された算術関数 $I$ をアイデンティティ関数と言う。 $$ I(n) := \left[ {{ 1 } \over { n }} \right] $$

• [1] アイデンティティ級数：単位関数 $u$ である。つまり、 $$ \sum_{d \mid n}I(d) = u(n) = 1 $$
• [2] 完全乗算的：すべての $n , m \in \mathbb{N}$ に対して $I (mn) = I(m) I(n)$
• [a] 畳み込みにおける単位元：すべての算術関数 $f$ に対して $$ I \ast\ f = f \ast\ I = f $$

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• $\left[ x \right] = \lceil x \rceil$ は床関数^{floor function} と呼ばれ、$x$ より小さくまたは等しい値の中で最大の整数を表す。

説明

$$ \begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ I(n) & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sum_{d \mid n} I(d) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} $$ ほとんどの数学では、アイデンティティ関数の名前は$i(x) = x$ のように定義域の要素が自分自身にマッピングされる関数に付けられるが、少なくとも解析的整数論ではノルム $N (n) = n$ と呼ばれる。$I$ は見ての通り、畳み込み $\ast$ に対して常に存在する単位元の役割を果たすため、アイデンティティという名前が付けられた。

証明

[1]

$\displaystyle I(n) = \left[ {{ 1 } \over { n }} \right] = \begin{cases} 1 & , n=1 \\ 0 &, n>1 \end{cases}$ が成り立つ。したがって、 $$ \sum_{d \mid n}I(d) = 1 + 0 + \cdots = 1 $$

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[2]

• ケース 1. $m = n = 1$ $$ I ( mn ) = I(1) = 1 = 1 \cdot 1 = I(1) I(1) = I(m) I(n) $$
• ケース 2. $m = 1 \land n > 1$ $$ I(mn) = I (n) = 1 \cdot I (n) = I(m) I(n) $$
• ケース 3. $m > 1 \land n = 1$ $$ I(mn) = I (m) = I(m) \cdot 1 = I(m) I(n) $$
• ケース 4. $m > 1 \land n > 1$ $$ I(mn) = 0 = 0 \cdot 0 = I(m) I(n) $$

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[a]

$d$ は $n$ の約数であるため、$d \ne n$ の場合には$\displaystyle \left[ {{ d } \over { n }} \right] = 0$ であり、 $$ (f \ast\ I)(n) = \sum_{d \mid n} f(d) I \left( {{ n } \over { d }} \right) = \sum_{d \mid n} f(d) \left[ {{ d } \over { n }} \right] = f(n) $$ 算術関数の畳み込みの交換法則により、$f \ast\ I = I \ast\ f = f$

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