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オイラーのガンマ関数に対する極限公式の導出

式 ¹

ガンマ関数について $\Gamma : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ が成立する。 $$\Gamma (x) = \lim_{n \to \infty} {{n^x n!} \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x+n) }}$$

説明

以前知っていたガンマ関数は積分形 $$\Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$$ で全く異なる形をしていたが、1729年にオイラーが二つの表現が完全に同じであることを証明した。この記事で紹介する導出は元のものより少し簡略化されているが、理解する上で本質的な問題はないだろう。

導出

$\displaystyle \Gamma_{n}(x) := \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt$ を $\displaystyle e^{-t} = \lim_{n \to \infty } \left( 1 - { t \over n } \right) ^{-n}$とすると $$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \Gamma_{n}(x) =& \lim _{n \to \infty} \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt \\ =& \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt \\ =& \Gamma (x) \end{align*}$$ となる。一方で、$\displaystyle \Gamma_{n}(x) = \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt$ から $u = {t \over n}$への置換を行うと $$\begin{align*} \Gamma_{n}(x) =& \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt \\ =& \int_{0}^{1} (nu) ^{x-1} ( 1 - u ) ^{n} n du \\ =& n^{x} \int_{0}^{1} u^{x-1} ( 1 - u ) ^{n} du \end{align*}$$ となる。部分積分法により $$\begin{align*} & \int_{0}^{1} u^{x-1} ( 1 - u ) ^{n} du \\ =& \left[ \left( { 1 \over x} \right) u^x (1-u)^n \right] _{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \left( { 1 \over x} \right) u^x n ( 1 - u ) ^{n-1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \int_{0}^{1} u^x ( 1 - u ) ^{n-1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \left( { {n-1} \over {x+1}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+1} ( 1 - u ) ^{n-2} du \\ \vdots& \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+n-2} ( 1 - u ) ^{1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+n-1} ( 1 - u ) ^{0} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+n-1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \left[ {{ 1 } \over { x+n }} u^{x+n} \right]_{0}^{1} \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \left( { 1 \over {x+n}} \right) \\ =& { {n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 \cdot 1 } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } } \\ =& { { n! } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } } \end{align*}$$ を得て、したがって $$\Gamma_{n}(x) = n^{x} { { n! } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } }$$ を得る。前に $\displaystyle \Gamma (x) = \lim_{n \to \infty} \Gamma_{n}(x)$ であることを示したので、次が成立する。 $$\begin{align*} \Gamma (x) =& \lim_{n \to \infty} \Gamma_{n}(x) \\ =& \lim_{n \to \infty} { { n^{x} n! } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } } \end{align*}$$

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参考

• 階乗の一般化としてのガンマ関数を見る
• ガンマ関数に対するワイエルシュトラスの無限積を見る