📂動力学

多次元マップのカオス

定義¹

マップ $f : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{m}$ のバウンデッドオービット $\left\{ \mathbf{v}_{0}, \mathbf{v}_{1}, \cdots \right\}$ が次を満たすとき、このオービットをケアリック^chaoticという。

• (i): 漸近的に周期的でない。
• (ii): すべての $i = 1,\cdots , m$ に対して $h_{i} ( \mathbf{v}_{0} ) \ne 0$
• (iii): $h_{1} ( \mathbf{v}_{0}) > 0$

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• オービットがバウンデッドであるという意味はすべての $n \in \mathbb{N}_{0}$ に対して $\left\| \mathbf{v}_{n} \right\| < M$ を満たす $M \in \mathbb{R}$ が存在するということである。
• $h_{i}(\mathbf{v}_{0})$ はリアプノフ指数を意味する。

説明

$1$次元マップのカオスと異なるのは、ドメインの次元 $m$ によってリアプノフ指数も $m$ 個計算されるため、すべてのリアプノフ指数が $0$ でないこと、最も大きいリアプノフ指数が正であるという条件が追加された点である。一方、リアプノフ指数のうち二つ以上が正の場合、ハイパーカオス^{hyper chaos}という言葉を使用する。

関連項目

• 1次元マップのカオス
• 不変集合のカオス
• 微分方程式で表現されるシステムのカオス