ベータ関数とガンマ関数の関係
定理
$$ B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} $$
説明
ベータ関数は $\displaystyle B(p,q) := \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt $ で定義され、ガンマ関数と同様に多くの分野で応用されている重要な関数だ。ガンマ関数は再帰関係を使って簡単に計算できるので、上の関係式を利用してベータ関数も簡単に計算できる。直感的には、二項係数の一般化であり、階乗が現れるので自然にガンマ関数と関係が深い。
証明
$\displaystyle \Gamma (p) = \int_{0}^{\infty} u^{p-1} e^{-u} du $ かつ $\displaystyle \Gamma (q) = \int_{0}^{\infty} v^{p-1} e^{-v} dv $ の場合、 $$ \begin{align*} \Gamma (p) \Gamma (q) &= \int_{0}^{\infty} u^{p-1} e^{-u} du \int_{0}^{\infty} v^{p-1} e^{-v} dv \\ &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} u^{p-1} v^{q-1} e^{-u} e^{-v} du dv \end{align*} $$ $u + v = z$、$u = zt$、$v = z( 1 - t)$ に置き換えて $$ \begin{align*} \Gamma (p) \Gamma (q) &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} (zt)^{p-1} (z(1-t))^{q-1} e^{-u-v} z dt dz \\ &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} z^{p+q-1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} e^{-z} dt dz \\ &= \int_{0}^{\infty} z^{p+q-1} e^{-z} \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt dz \\ &= \int_{0}^{\infty} z^{p+q-1} e^{-z} dz \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt \\ &= \Gamma (p + q) B(p, q) \end{align*} $$ まとめると $$ {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} = B(p,q) $$
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系: ベータ関数の対称性
$$ B(p,q) = B(q,p) $$
置き換えて証明することも馬鹿げているが、$\displaystyle B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} = {{\Gamma (q) \Gamma (p)} \over {\Gamma (q+p) }} = B(q,p) $ が一行で十分だ。