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ガンマ関数の導出 📂関数

ガンマ関数の導出

非負整数のためのガンマ関数

α>0\alpha >0に対して ∫0∞e−αxdx=[−1αe−αx]0∞=1α \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x} dx=\left[-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha x}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{\alpha} 両辺をα\alphaに関して微分すると、ライプニッツの積分法則によって左辺の微分が積分記号の中に入ることができるので、 ∫0∞−xe−αxdx=−1α2  ⟹  ∫0∞xe−αxdx=1α2 \begin{align*} &&\int_{0}^\infty -xe^{-\alpha x}dx&=-\frac{1}{\alpha^2} \\ \implies && \int_{0}^\infty xe^{-\alpha x}dx &= \frac{1}{\alpha ^2} \end{align*} 続けて微分すると、 ∫0∞x2e−αxdx=2α3∫0∞x3e−αxdx=3⋅2α4∫0∞x4e−αxdx=4⋅3⋅2α5⋮∫0∞xne−αxdx=n!αn+1 \begin{align*} \int_{0}^\infty x^2e^{-\alpha x}dx&=\frac{2}{\alpha^3} \\ \int_{0}^\infty x^3e^{-\alpha x}dx&=\frac{3\cdot 2}{\alpha^4} \\ \int_{0}^\infty x^4e^{-\alpha x}dx &=\frac{4\cdot 3\cdot 2}{\alpha^5} \\ &\vdots \\ \int_{0}^\infty x^ne^{-\alpha x}dx&=\frac{n!}{\alpha^{n+1}} \end{align*} ここでα=1\alpha =1と置くと、 ∫0∞xne−xdx=n!n=1,2,3,⋯ \int_{0}^\infty x^n e^{-x}dx=n! \quad n=1,2,3,\cdots 上記の式から0!=10!=1である理由も自然に説明できる。n=0n=0とすると、 0!=∫0∞e−xdx=[−e−x]0∞=1 0!=\int_{0}^\infty e^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_{0}^\infty=1 従って、0!:=10!:=1と自然に定義できる。

ガンマ関数の再帰関係

nnが整数でなくても上記の積分値で関数を定義できる。これをガンマ関数と呼ぶ。通常整数の場合はnnと書き、そうでない場合はppと書く。 Γ(p)=∫0∞xp−1e−xdx,p>0(1) \Gamma (p)=\int_{0}^\infty x^{p-1}e^{-x}dx,\quad p>0 \tag{1} 範囲がp>0p>0である理由は、その範囲でのみ不適切積分が収束するからである。p≤0p\le 0の場合、上記の積分は発散するので、Γ(p)\Gamma (p)を定義するのに使用できない。p≤0p\le 0の場合のガンマ関数の定義方法はさらに下で紹介する。また、Γ(p)=(p−1)!\Gamma (p)=(p-1)!でありΓ(p)=p!\Gamma (p)= p!でないことに注意。ppが整数であれば、ガンマ関数は階乗と同じになるので、Γ(n+1)=nΓ(n)\Gamma (n+1)=n \Gamma (n)が成り立つのは明らかだ。しかし、これはppが整数でない場合にも成り立つ。まず(1)(1)でppの代わりにp+1p+1を入れると、 Γ(p+1)=∫0∞xpe−xdx,p>−1,(2) \Gamma (p+1)=\int_{0}^\infty x^pe^{-x}dx,\quad p>-1, \tag{2} (2)(2)の右辺を部分積分すると、 ∫0∞xpe−xdx=∫0∞(−xp)(−e−x)dx=[−xpe−x]0∞+∫0∞pxp−1e−xdx=p∫0∞xp−1e−xdx=pΓ(p) \begin{align*} \int_{0}^{\infty} x^{p}e^{-x}dx&= \int_{0}^{\infty} (-x^{p})(-e^{-x})dx \\ &= \left[-x^{p}e^{-x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} px^{p-1}e^{-x}dx \\ &= p\int_{0}^{\infty} x^{p-1}e^{-x}dx \\ &=p\Gamma (p) \end{align*} 従って、上記の結果と(2)(2)を組み合わせると、 Γ(p+1)=pΓ(p),p>−1(3) \Gamma (p+1)=p\Gamma (p),\quad p>-1 \tag{3} (3)(3)をガンマ関数に対する再帰関係と言う。これにより、ガンマ関数を含んだ式を簡単に表現できる。例えば、 Γ(1/4)Γ(9/4)=Γ(1/4)54Γ(5/4)=Γ(1/4)5414Γ(1/4)=165 \frac{\Gamma (1/4)}{\Gamma (9/4)}=\frac{\Gamma (1/4)}{\frac{5}{4}\Gamma (5/4)}=\frac{\Gamma (1/4)}{\frac{5}{4}\frac{1}{4}\Gamma (1/4)}=\frac{16}{5}

負数まで拡張されたガンマ関数

再帰関係を利用して負数に対するガンマ関数を定義できる。(3)(3)をよく見ると、右側のガンマ関数に−1<p<0-1<p<0が入ることがわかる。従って、これを利用してp<0p<0に対するガンマ関数は以下のように定義される。 Γ(p)=1pΓ(p+1),p<0 \Gamma (p)=\frac{1}{p}\Gamma (p+1),\quad p<0 例えば、Γ(−3/5)=−53Γ(2/5)\Gamma (-3/5)=-\frac{5}{3}\Gamma (2/5 )であり、Γ(−8/5)=−58Γ(−3/5)=2524Γ(2/5)\Gamma (-8/5)=-\frac{5}{8}\Gamma (-3/5)=\frac{25}{24}\Gamma (2/5)である。p=0p=0の場合は以下のように発散することが示される。Γ(1)=0!=1\Gamma (1)=0!=1であるため、 lim⁡p→0Γ(p)=lim⁡p→0Γ(p+1)p=∞ \lim \limits_{p \rightarrow 0} \Gamma (p)=\lim \limits_{p \rightarrow 0} \frac{\Gamma (p+1)}{p}=\infty

参照