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ライプニッツの積分則 📂解析学

ライプニッツの積分則

定理

f(x,t)f(x,t)と∂f∂x(x,t)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)が連続だとしよう。すると、以下の式が成り立つ。

ddx∫abf(x,t)dt=∫ab∂f∂x(x,t)dt \frac{d}{dx} \int_{a}^b f(x,t)dt = \int_{a}^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt

説明

微分と積分の順序を交換できるのは、言うまでもなく便利である。

他にも、ライプニッツの名前が付いた微分と積分に関連する定理や公式が多い。

証明

連続ならば積分可能なので、uuを以下のようにしよう。

u(x):=∫abf(x,t)dt u(x):=\int_{a}^b f(x,t)dt

すると、以下が成り立つ。

u(x+h)−u(x)h=∫abf(x+h,t)dt−∫abf(x,t)dth=∫ab[f(x+h,t)−f(x,t)]dth=∫abf(x+h,t)−f(x,t)hdt \begin{equation} \begin{aligned} \frac{ u(x+h)-u(x)}{h} &= \frac{\int_{a}^{b} f(x+h,t)dt -\int_{a}^{b}f(x,t)dt}{h} \\ &= \frac{ \int_{a}^{b} \big[f(x+h,t)-f(x,t) \big] dt}{h} \\ &= \int_{a}^{b} \frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h}dt \end{aligned} \end{equation}

また、固定されたyyに対して、f(x,y)f(x,y)に平均値の定理を適用すると、以下の式を満たすc∈[x,x+h]c\in[x,x+h]が存在する。

f(x+h,t)−f(x,t)h=∂f∂x(c,t) \frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(c,t)

両辺をttに関して定積分すると、(1)(1)により以下が成り立つ。

u(x+h)−u(x)h=∫ab∂f∂x(c,t)dt \frac{u(x+h)-u(x)}{h}=\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(c,t) dt

今、任意のϵ>0\epsilon >0に対して、ϵ0=ϵb−a\epsilon_{0}=\dfrac{\epsilon}{b-a}としよう。[x,x+h]×[a,b][x,x+h]\times [a,b]はコンパクトであり、仮定により∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x}はコンパクト区間上で連続なので、一様連続である。すると、十分に小さなhhに対して、以下が成り立つ。

∣∂f∂x(x+h,t)−∂f∂x(x,t)∣<ϵ0 \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x+h,t)-\frac{\partial f}{\partial x} (x,t)\right| < \epsilon_{0}

また、c∈[x,x+h]c\in[x,x+h]だから、一様連続の定義により、以下が成り立つ。

∣∂f∂x(c,t)−∂f∂x(x,t)∣<ϵ0 \left| \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x} (x,t)\right| < \epsilon_{0}

今、計算してみると、以下が得られる。

∣lim⁡h→0u(x+h,t)−u(x,t)h−∫ab∂f∂x(x,t)dt∣= ∣lim⁡h→0∫ab∂f∂x(c,t)dt−∫ab∂f∂x(x,t)dt∣= ∣lim⁡h→0∫ab[∂f∂x(c,t)−∂f∂x(x,t)]dt∣= lim⁡h→0∣∫ab[∂f∂x(c,t)−∂f∂x(x,t)]dt∣≤lim⁡h→0∫ab∣∂f∂x(c,t)−∂f∂x(x,t)∣dt≤lim⁡h→0∫abϵ0dt= lim⁡h→0(b−a)ϵ0= ϵ \begin{align*} & \left| \lim \limits_{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h,t)-u(x,t)}{h} - \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt\right| \\ =&\ \left| \lim \limits_{h\rightarrow 0}\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(c,t) dt - \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt\right| \\ =&\ \left| \lim \limits_{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b}\left[ \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right] dt\right| \\ =&\ \lim \limits_{h \rightarrow 0}\left| \int_{a}^{b}\left[ \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right] dt\right| \\ \le& \lim \limits_{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b}\left| \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right| dt \\ \le& \lim \limits_{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b} \epsilon_{0}dt \\ =&\ \lim \limits_{h \rightarrow 0} (b-a)\epsilon_{0} \\ =&\ \epsilon \end{align*}

この式は、任意のϵ>0\epsilon>0に対して成り立つので、以下が得られる。

lim⁡h→0u(x+h,t)−u(x,t)h=∫ab∂f∂x(x,t)dt \lim \limits_{h\rightarrow 0} \frac{u(x+h,t)-u(x,t)}{h}=\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt

また、u(x):=∫abf(x,t)dt\displaystyle u(x):=\int_{a}^b f(x,t)dtだから、以下が成り立つ。

ddx∫abf(x,t)dt=∫ab∂f∂x(x,t)dt \frac{d}{dx} \int_{a}^b f(x,t)dt = \int_{a}^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt

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関連項目