基底から生成される位相
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位相
集合$X$に対して、以下の三つの条件を満たす$X$の部分集合のコレクション$\mathscr{T}$を集合$X$上の位相と言う。
- $(T1)$ $\varnothing, X \in \mathscr{T}$
- $(T2)$ $U_{\alpha} \in \mathscr{T} (\alpha \in \Lambda)$ならば$\bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_{\alpha} \in \mathscr{T}$である。
- $(T3)$ $U_{1},\cdots,U_{n} \in \mathscr{T}$ならば$\bigcap_{i=1}^{n}U_{i} \in \mathscr{T}$である。
簡単に言えば、空集合と全集合を持ち、和集合と可算交差に対して閉じている部分集合のコレクションを位相と言う。
基底
集合$X$に対して、以下の二つの条件を満たす$X$の部分集合のコレクション$\mathscr{B}$を**$X$上の位相の基底と言う。線形代数の基底と混同しない場合は、通常単に集合$X$の基底**と言う。
- $(B1)$ 任意の点$x\in X$に対して、$x\in B$を満たす$B\in \mathscr{B}$が存在する。つまり$\bigcup_{B\in \mathscr{B}}B=X$を満たす。
- $(B2)$ 任意の$B_{1}, B_2 \in \mathscr{B}$と点$x \in (B_{1}\cap B_{2})$に対して、$x\in B_{3} \subset (B_{1}\cap B_{2})$を満たす$B_{3} \in \mathscr{B}$が存在する。
定義
$\mathscr{B}$を集合$X$の基底としよう。以下の条件を満たす$X$の部分集合$U$たちのコレクション$\mathscr{T}_\mathscr{B}$を**$\mathscr{B}$が生成する$X$上の位相**と言う。 $$ \forall x \in U,\ \exists B\in \mathscr{B}\quad \text{s.t.}\ x\in B \subset U $$ つまり、 $$ \mathscr{T}_\mathscr{B} =\left\{ U\subset X \ :\ \forall x \in U,\ \exists B\in \mathscr{B}\quad \text{s.t.}\ x\in B \subset U\right\} $$
定理
- $(0)$: $\mathscr{T}_\mathscr{B}$は$X$上の位相である。
$\mathscr{B}$を集合$X$上の基底としよう。すると$\mathscr{T}_\mathscr{B}$は以下のような性質を持つ。
- $(a1)$: $\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$は$\mathscr{B}$の要素たちの和集合のコレクションと同じである。 $$ \mathscr{T}_{\mathscr{B}}=\left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\} $$
- $(b1)$ $\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$は$\mathscr{B}$を含む$X$上の位相の中で最も小さい。
位相空間$(X, \mathscr{T})$が与えられたとしよう。$\mathscr{B} \subset \mathscr{T}$に対して、以下の二つの事実は同値である。
- $(a2)$: $\mathscr{B}$は$\mathscr{T}$の基底である。つまり、$\mathscr{T}=\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$である。
- $(b2)$: 任意の開集合$U \in \mathscr{T}$と点$x \in U$に対して、$x \in B \subset U$を満たす$B\in \mathscr{B}$が存在する。
説明
$\mathscr{B}$が位相空間$(X,\mathscr{T})$の基底であることは、$\mathscr{T}=\mathscr{T}_\mathscr{B}$を意味する。$\mathscr{T}_\mathscr{B}$が実際に集合$X$上の位相になることを確認できる。
教科書によっては、$(a1)$を基底$\mathscr{B}$の定義として紹介することもある。
$(a2)$と$(b2)$は、与えられた位相から基底を見つけることを扱っている。その上で、与えられた基底からどのように位相を生成するかについて論じているが、反対に下では位相が与えられたときに、それを生成する基底をどのように見つけるかについて論じられている。
これを根拠に、ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$上の基底をオープンボールのコレクションとする。
証明
$(0)$
$(T1)$
$x\in \varnothing$を満たす$x$が存在しないため、$\varnothing \in \mathscr{T}_\mathscr{B}$である。$\mathscr{B}$が$X$の基底であるため、$(B1)$により、任意の点$x\in X$に対して、$x \in B \subset X$を満たす$B \in \mathscr{B}$が存在する。したがって$X \in \mathscr{T}_\mathscr{B}$
$(T2)$
$U_\alpha \in \mathscr{T}_\mathscr{B}\ (\alpha \in \Lambda)$としよう。任意の点$x \in \bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_\alpha$に対して、$x \in U_{\alpha_{0}}$である$\alpha_{0} \in \Lambda$が存在する。$U_{\alpha_{0}} \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$であるため、$\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$の定義により、$x \in B \subset U_{\alpha_{0}}$を満たす$B \in \mathscr{B}$が存在する。したがって $$ x \in B \subset U_{\alpha_{0}} \subset \bigcup_{\alpha \in \Lambda}U_{\alpha} $$ であるから、$\bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_{\alpha} \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$である。$(T3)$ $U,V \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$としよう。任意の点$x \in U \cap V$に対して、$x\in U$であり$x \in V$であるため、$\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$の定義により $$ x \in B_{1}\subset U,\quad x\in B_{2}\subset V $$ を満たす$B_{1}, B_{2}\in \mathscr{B}$が存在する。また、$x\in B_{1}\cap B_2$であるため、$(B2)$により $$ x \in B_{3} \subset B_{1}\cap B_2 \subset U\cap V $$ を満たす$B_{3} \in \mathscr{B}$が存在する。したがって、$\mathscr{T}_\mathscr{B}$の定義により$U \cap V \in \mathscr{T}_\mathscr{B}$である。
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$(a1)$
$ \mathscr{T}_{\mathscr{B}} \supset \left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\} $$ \mathscr{B}$の任意の部分集合$\mathscr{B}^{\ast} \subset \mathscr{B}$に対して、$U=\bigcup_{B\in \mathscr{B}^{\ast}} B$としよう。すると、任意の$x \in U$に対して、$x\in B_{x} \in \mathscr{B}^{\ast}$が存在する。すると、$x \in B_{x} \subset U$であるため、$U \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$である。$ \mathscr{T}_{\mathscr{B}} \subset \left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\} $$ U \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$としよう。すると、$\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$の定義により、任意の$x \in U$に対して、$x \in B_{x} \subset U$を満たす$B_{x} \in \mathscr{B}$が存在する。したがって、$U$は$U=\bigcup_{x\in U}B_{x}$のように$\mathscr{B}$の要素たちの和集合として表されるので、$U \in \left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\}$である。
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$(b1)$
まず、$\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$が$\mathscr{B}$を含むことを示そう。$B \in \mathscr{B}$としよう。すると、$x\in B$に対して、$x \in B \subset B$を満たす$B \in \mathscr{B}$が存在するため、$B \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$である。次に、$\mathscr{B}$を含む集合$X$上の位相$\mathscr{T}$を考える。$\mathscr{B}^{\ast} \subset \mathscr{B}$に対して、$\mathscr{B}^{\ast} \subset \mathscr{B} \subset \mathscr{T}$であれば、位相の定義$(T1)$により、$\bigcup_{B \in \mathscr{B}^{\ast}} B$も$\mathscr{T}$の要素である。したがって、$\mathscr{T}_{\mathscr{B}} \subset \mathscr{T}$である。つまり、$\mathscr{B}$を含む位相の中で$\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$が最も小さい。
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$(a2) \iff (b2)$
$(a2) \implies (b2)$
$\mathscr{T}_{B}$の定義により成立する。
$(b2) \implies (a2)$
まず、$\mathscr{B}$が$X$の基底になることを示そう。
- $(B1)$ 全体集合$X$も開集合であるため、任意の点$x \in X$に対して、