📂動力学

ピリオド倍加分岐

定義

簡単な定義

周期倍加分岐^{period-doubling bifurcation}は、動力学系のパラメータ変化に従って周期軌道の周期が2倍に増えたり減ったりする分岐である。

難しい定義

$$\dot{x} \mapsto f \left( x , r \right) \qquad , x \in \mathbb{R}^{n} , r \in \mathbb{R}^{1}$$ 与えられた動力学系の$f$が$x$および$\alpha$に対してスムーズであると仮定する。$\bar{x}$がこのシステムのハイパーボリックな固定点であるとき、そのヤコビ行列$D f \left( \bar{x} \right)$の固有値の一つを$\lambda_{k}$とする。$\lambda_{k} = -1$が現れるか消えることに関連する分岐を周期倍加分岐という¹。

ダイアグラム

説明

周期倍加分岐はフリップ分岐^{flip bifurcation}とも呼ばれ、ロジスティックファミリーなどの例で見られる分岐ダイアグラムを通じて初めて体験する現象であることが多い。

特に周期が2倍に増える過程が無限に続くシーケンスを形成する現象を周期倍加カスケード^{period-doubling cascade}と呼び¹、カオスという概念と直接的に結びつくことがある。このようにカオスに近づくパラメータの現れ方はある種の定数に収束し、これをファイゲンバウムの普遍性と呼ぶ。