積分を使用した楕円の面積の計算
公式
楕円 $\displaystyle {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$ の面積は $ab \pi$ だ。
説明
特に $a=b=r$、つまり半径が $r$ の円 $x^2 + y^2=r^2$ の面積はよく知られている通り $r^2 \pi$ だ。
証明
楕円の面積を求めるには、着色された領域の面積だけを計算すれば十分だ。領域の面積は $$ \int _{0} ^{a} \sqrt{b^2-{b^2 \over a^2} x^2} dx $$ によって与えられる。$x = a \sin \theta$ で置換すると $$ \begin{align*} \int _{0} ^{ \pi \over 2 } b \sqrt{1 - \sin ^ 2 \theta } a \cos \theta d \theta =& ab \int _{0} ^{ \pi \over 2 } \cos ^2 \theta d \theta \\ =& ab \left[ {1 \over 4} (2\theta + \sin 2\theta)\right]_{0}^{\pi \over 2} \\ =& {ab \over 4} \pi \end{align*} $$ これに $4$ をかけると楕円の面積 $ab \pi$ を得る。
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