📂確率論

ドンスカーの定理

定理

$\left\{ \xi_i \right\}_{i \in \mathbb{N}}$が$(0,1)$で定義された確率過程だとしよう。関数空間$C[0,1]$で確率関数$X_{n}$が以下のように定義されているとする。 $$X_{n}:= {{ 1 } \over { \sqrt{n} }} \sum_{i=1}^{\lfloor nt \rfloor} \xi_{i} + \left( nt - \lfloor nt \rfloor \right) {{ 1 } \over { \sqrt{n} }} \xi_{\lfloor nt \rfloor + 1}$$ $X_{n}$は$n \to \infty$のときウィーナープロセス$W$へと分布収束する。

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• $C[0,1]$は定義域が$[0,1]$で値域が$\mathbb{R}$の連続関数の空間だ。
• $\lfloor \cdot \rfloor$は床関数Floor Functionで、$\cdot$で小数点を切り捨てた値を表す。韓国では、高校でガウス関数$[ \cdot ]$として広く知られている。

説明

ドンスカーの定理は、ドンスカーの不変原理、関数中心極限定理などとも呼ばれる。ウィーナープロセスが確率過程での正規分布のような感じがするため、確率元、つまり確率過程がウィーナープロセスへと分布収束することは、十分に関数中心極限定理と呼ぶ資格がある。