タイト確率過程
定義
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$で確率過程 $\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$が定義されているとしよう。全ての$\varepsilon > 0$に対して、 $$\displaystyle \inf_{n \in \mathbb{N}} P\left( X_{n} \in K \right) > 1 - \varepsilon$$ を満たすコンパクト集合 $K \subset \Omega$が存在する場合、$\left\{ X_{n} \right\}$はタイトtightだと言う。
説明
数理統計学では、確率における有界の概念に相当する。タイトは分布収束に関連して、以下のようにいくつかの重要な性質を持つ。
基本的な性質
$X$、$\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$がそれぞれ距離空間$(S, d)$で定義された確率要素、確率過程であり、$\mathscr{H}: = C(S, \mathbb{R})$とする。
- [1]: $\left\{ X_{n} \right\}$がタイトならばプリコンパクトである。
- [2]: $\left\{ X_{n} \right\}$がタイトならば全ての$h \in \mathscr{H}$に対して、$h(X_{n}) \overset{D}{\to} h(X)$ならば$X_{n} \overset{D}{\to} X$
$X$、$\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$がそれぞれ$C[0,1]$で定義された確率要素、確率過程であるとしよう。
- [3]: $X$が$S = C[0,1]$の確率要素であるとしよう。$[0,1]$の全ての有限部分集合$A$の点$a$で$X_{n}(a) \overset{W}{\to} X(a)$であり、$\left\{ X_{n} \right\}$がタイトならば$X_{n} \overset{D}{\to} X $
- [4]: $\left\{ X_{n} \right\}$がタイトであることは(i)全ての$\varepsilon > 0$に対して $$ \lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} P \left( \sup_{|s-t| < \delta} \left| X_{n}(s) - X_{n}(t) \right| \ge \varepsilon \right) = 0 $$ であり、(ii)$\left\{ X_{n} (0) \right\}$がタイトであることと同値である。
- $C[0,1]$はドメインが$[0,1]$で、コドメインが$\mathbb{R}$の連続関数の空間である。
- $C(S,\mathbb{R})$は、ドメインが$S$でコドメインが$\mathbb{R}$の連続関数の空間である。