두 벡터의 내적과 사잇각의 관계
定理
二つのベクトル $\mathbf{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ と $\mathbf{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ の間の角度を $\theta$ としよう。すると次が成り立つ。
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta $$
このとき、$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ は二つのベクトルのドット積（内積）である。
従う定理
ゼロベクトルでない二つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が互いに直交する必要十分条件は次の通りである。
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $$
証明
下の図を見よう。ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$、そして $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ は三角形を作る。
さて、この三角形にコサイン第二法則を適用すると次が得られる。
$$ |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = | \mathbf{a} - \mathbf{b} |^2 $$
上の式は内積の性質 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = | \mathbf{a} |^{2}$ により次のようになる。
$$ \begin{align*} \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta &= (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \\ &= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \end{align*} $$
共通の項を消去すると次が得られる。
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta $$
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従う定理の証明
$(\Longrightarrow)$
$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が直交するとしよう。すると、
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \frac{\pi}{2} = 0 $$
$(\Longleftarrow)$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ としよう。すると、
$$ |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = 0 $$
$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ はゼロベクトルではないので $|\mathbf{a}| \ne 0$、$|\mathbf{b}| \ne 0$ である。したがって
$$ \cos\theta = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{2} $$
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