ポーランド空間

定義

次の条件を満たす位相空間 $X$ をポーランド空間と呼ぶ。

(i): $X$ は距離化可能空間だ。
(ii): $X$ は可分空間だ。
(iii): $X$ は完備空間だ。

説明

原語がPolish Spaceで、直訳すればポーランド空間となる通り、我々が知っている’ポーランド’から来た言葉だ。この空間が初めて活発に研究されたのが、ポーランド出身の位相数学の学者や論理学者たちだったため、このような名前がついた。名前についてもう少し話してみると、条件(i)で距離化可能空間でなく正確に距離空間 $(X,d)$ であれば、ポーランド距離空間と呼ばれる。しかし、ポーランド空間の実際の応用では、距離化可能性が過度に一般的と見なされ、実際に距離空間で十分な場合、文脈上単にポーランド(距離)空間をポーランド空間と呼ぶこともある。ポーランド空間は完備距離空間という常識的な空間に可分性という性質を加えたものだ。可分であることは可算なものと多くの関係があり、測度論、特に確率論での応用がしやすい。