📂多変数ベクトル解析

ベクトル値関数の導関数

定義¹

ベクトル関数 $\mathbf{r} : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{3}$について、以下の極限が存在すれば、$\mathbf{r}$は**$t$で微分可能である**と言い、その値を$\mathbf{r}$の$t$での微分係数^derivativeという。

$$\dfrac{d \mathbf{r}}{d t} = \mathbf{r}^{\prime}(t) := \lim_{h \to 0} \dfrac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}$$

すべての$t \in I$について$\mathbf{r}^{\prime}(t)$が存在すれば、$\mathbf{r}$は**$I$で微分可能であると言う。$\mathbf{r}$が$I$で微分可能なとき、$I$上で定義された$\mathbf{r}^{\prime}$を$\mathbf{r}$の導関数**^derivativeという。

説明

スカラー函数$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$に対する導関数の定義をそのまま拡張したものである。

$$f^{\prime} (a) := \lim_{h \to 0} {{ f (a + h ) - f(a) } \over { h }}$$

定義で$\mathbb{R}^{3}$ではなく$\mathbb{R}^{n}$でも同じ方法で定義される。以下の定理によって$m$系導関数は次のようになる。

$$\mathbf{r}^{(m)}(t) = \left( f^{(m)}(t), g^{(m)}(t), h^{(m)}(t) \right)$$

定理

微分可能な関数$f_{i} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$について$\mathbf{r}(t) = \left( f_{1}(t), \dots, f_{n}(t) \right)$であれば、

$$\mathbf{r}^{\prime}(t) = \left( f_{1}^{\prime}(t), \dots, f_{n}^{\prime}(t) \right)$$

証明

簡単な計算で示すことができる。極限の定義によって、

$$\begin{align*} \mathbf{r}^{\prime}(t) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{(f_{1}(t+h), \dots, f_{n}(t+h)) - (f(t), \dots, f_{n}(t))}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{f_{1}(t+h) - f_{1}(t)}{h}, \dots, \dfrac{f_{n}(t+h) - f_{n}(t)}{h} \right) \\ &= \left( \lim_{h \to 0}\dfrac{f_{1}(t+h) - f_{1}(t)}{h}, \dots, \lim_{h \to 0}\dfrac{f_{n}(t+h) - f_{n}(t)}{h} \right) \\ &= \left( f_{1}^{\prime}(t), \dots, f_{n}^{\prime}(t) \right) \end{align*}$$

性質

二つのベクトル関数$\mathbf{u}, \mathbf{v} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$とスカラー関数$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$、定数$c \in \mathbb{R}$について次が成り立つ。

1. 線形性: $\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \pm \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}^{\prime}(t) \pm \mathbf{v}^{\prime}(t)$

2. 線形性: $\dfrac{d}{dt} [c \mathbf{u}(t)] = c \mathbf{u}^{\prime}(t)$

3. 積の微分法: $\dfrac{d}{dt} [f(t) \mathbf{u}(t)] = f^{\prime}(t) \mathbf{u}(t) + f(t) \mathbf{u}^{\prime}(t)$

4. 内積の微分法: $\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}^{\prime}(t)$

5. 外積の微分法: $\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}^{\prime}(t) \times \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}^{\prime}(t)$

6. 連鎖律: $\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(f(t))] = \mathbf{u}^{\prime}(f(t)) f^{\prime}(t)$