二つの確率尺度が一致する条件
定理
空間 $S$ が距離空間$( S , \rho)$ であり、かつ可測空間$(S,\mathcal{B}(S))$ だとしよう。
$\mathcal{O}$ はすべての開集合の集合、$\mathcal{C}$ はすべての閉集合の集合であり、$P$ と $Q$ は$(S,\mathcal{B}(S))$ で定義された確率測度だ。
- [1]: すべての開集合$O \in \mathcal{O} \subset S$ に対して$P(O) = Q(O)$ ならば$P=Q$ だ。つまり、$\mathcal{O}$ はセパレーティングクラスだ。
- [2]: すべての閉集合$C \in \mathcal{C} \subset S$ に対して$P(C) = Q(C)$ ならば $P=Q$ だ。つまり、$\mathcal{C}$ はセパレーティングクラスだ。
- [3]: すべての$f \in C_{b}(S)$ に対して$Pf = Qf$ ならば、すべての$A \in \mathcal{B}(S)$ に対して$P(A)=Q(A)$ 、つまり$P=Q$ だ。
- すべての$A \in \mathcal{B}(S)$ に対して$P(A)=Q(A)$ ならば$P=Q$ と言う。
- $C_{b}(S)$ は、$S$ で定義される有界連続関数の集合を表す。 $$ C_{b}(S) := \left\{ f:S \to \mathbb{R} \mid f\text{ is bounded and continuous} \right\} $$
- $\displaystyle \int_{S} f dP$ は簡単に$\displaystyle Pf := \int_{S} f dP$ のように表示される。
表記
さらに議論のために、以下のようないくつかの表記を紹介する：
- 要素$x \in S$ と部分集合$A \subset S$、そして$\delta >0$ について $$ \rho (x, A) := \inf \left\{ \rho (x,a) : a \in A \right\} \\ A^{\delta} := \left\{ x \in S : \rho (x, A) < \delta \right\} $$
- ある固定された$F \subset S$ に対して $$ \begin{align*} f_{\delta}(x) :=& \left( 1 - \rho (x, F) / \delta \right)^{+} \\ =& \begin{cases} 1 &, x \in F \\ 1 - \rho (x,F)/\delta &, x \notin F \land x \in F^{\delta} \\ 0 &, x \notin F^{\delta} \end{cases} \end{align*} $$
式は複雑に見えるが、図で見れば決して難しくはない。$\rho (x,A)$ は単に点$x \in S$ と集合$A \subset S$ の最短距離を表している。
$A^{\delta}$ は単に$A$ より$\delta$ だけ大きくなったオープンセットだ。
最も難しいのが$f_{\delta}(x)$ だが、下の図のように、関数値が$F$ でのみ$1$ であり、$\delta$ ほど近いところでは$0$ と$1$ の間の連続的な値、それ以外の場所では$0$ の関数だ。この関数が作られた理由を形から推測できる。まず、有界であり一様連続であるために$f_{\delta} \in C_{b}(S)$ しかない。また、$\delta \to 0$ の時$f_{\delta} (x) \to 1_{F}$ のように扱いやすい単純関数に収束するのは良いことだ。
証明
戦略[1], [2]: $\mathcal{O}$ と$\mathcal{C}$ はそれぞれオープンセットとクローズドセットをすべて集めた集合であるため、それがπシステムであることを示すのは非常に簡単だ。そして、次の性質を使ってセパレーティングクラスになることを示せば良い。
セパレーティングクラスになる条件とπシステム：$\mathcal{C}$ に$\sigma (\mathcal{C}) = \mathcal{B}(S)$ が成り立ち、すべての$A \in \mathcal{C}$ に対して$P(A) = Q(A)$ ならば、$\mathcal{C}$ はセパレーティングクラスだ。
[1]
オープンセット同士の交わりはオープンセットなので$A, B \in \mathcal{O}$ ならば$A \cap B \in \mathcal{O}$、つまり$\mathcal{O}$ はπシステムだ。ボレルσフィールド$\mathcal{B}(S)$ は距離空間$(S, \rho)$ のすべてのオープンセット、すなわち$\mathcal{O}$ のすべての要素を含む最小のσフィールドなので$\sigma (\mathcal{O}) = \mathcal{B} (S)$ だ。それ故、すべての開集合$O \in \mathcal{O}$ に対して$P(O) = Q(O)$ が満たされれば、$\mathcal{O}$ はセパレーティングクラスになる。
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[2]
閉集合同士の交わりは閉集合なので$A, B \in \mathcal{C}$ ならば$A \cap B \in \mathcal{C}$、つまり$\mathcal{C}$ はπシステムだ。閉集合の定義と$C \in \mathcal{C}$ ならば$S \setminus C \in \mathcal{O}$、そしてσフィールドの定義により$C \in \mathcal{B}(S)$ でなければならない。つまり$\sigma (\mathcal{O}) = \sigma (\mathcal{C})= \mathcal{B}(S)$ だ。それ故、すべての閉集合$C \in \mathcal{C}$ に対して$P(C) = Q(C)$ が満たされれば、$\mathcal{C}$ はセパレーティングクラスになる。
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[3]
$$ f_{\varepsilon}(x) := \left( 1 - \rho (x,F) / \varepsilon \right)^{+} $$ 閉集合$F \in \mathcal{C}$ と$\varepsilon > 0$ に対して$f_{\varepsilon} : S \to \mathbb{R}$ を上記のように定義しよう。すると$f_{\varepsilon}$ は次の二つの条件を満たす。 $$ f_{\varepsilon} \in C_{b}(S) \\ 1_{F}(x) \le f_{\varepsilon}(x) \le 1_{F^{\varepsilon}} (x) $$ すべての$f \in C_{b}(S)$ に対して$P f = Q f$ と仮定すると、$\displaystyle \int_{\Omega} f_{\varepsilon} dP = \int_{\Omega} f_{\varepsilon} dQ$ も成立する。 $$ \begin{align*} P(F) =& \int_{\Omega} 1_{F} dP \\ \le & \int_{\Omega} f_{\varepsilon} dP \\ =& \int_{\Omega} f_{\varepsilon} dQ \\ \le & \int_{\Omega} 1_{F^{\varepsilon}} dQ \\ =& Q(F^{\varepsilon}) \end{align*} $$ 整理すると$P(F) \le Q ( F^{\varepsilon})$ だ。$F$ は閉集合なので$\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0} F^{\varepsilon} = F$、そして最近得た式の両辺に$\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0}$ を適用すると、測度の連続性により $$ \begin{align*} P(F) =& \lim_{\varepsilon \to 0} P(F) \\ \le & \lim_{\varepsilon \to 0} Q (F^{\varepsilon}) \\ =& Q \left( \lim_{\varepsilon \to 0} F^{\varepsilon} \right) \\ =& Q(F) \end{align*} $$ $P(F) \le Q(F)$ が得られ、同じ方法で$Q(F) \le P(F)$ も成り立つことが示せる。それ故、閉集合$F$ に対して$P(F) = Q(F)$ が成り立ち、[2]によりすべての$A \in \mathcal{B}(S)$ に対して$P(A) = Q(A)$ が成立する。
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