📂多変数ベクトル解析

大きさが一定のベクトル値関数は導関数と直交する

定理¹

ベクトル関数 $\mathbf{r} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$に対して、$|\mathbf{r}(t)| = c$であれば次が成り立つ。($c$は定数である)

$$\mathbf{r}(t) \perp \mathbf{r}^{\prime}(t) \quad \forall t$$

説明

一定の半径を持ち等速円運動をする場合を例として挙げることができる。この時、速度ベクトルと加速度ベクトルは常に直交する。

証明

内積の性質により、

$$\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = | \mathbf{r} |^{2} = c^{2}$$

両辺を$t$で微分すると次を得る。

$$2 \mathbf{r} \cdot \mathbf{r}^{\prime} = 0 \implies \mathbf{r} \cdot \mathbf{r}^{\prime} = 0$$

したがって二つのベクトルは直交する。

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