크기가 일정한 벡터값 함수는 도함수와 직교한다

## 定理[^1]

[^1]: James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, *Calculus* (early transcendentals, 9E), p901

[ベクトル関数](../970) $\mathbf{r} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$に対して、$|\mathbf{r}(t)| = c$であれば次が成り立つ。($c$は定数である)

$$
\mathbf{r}(t) \perp \mathbf{r}^{\prime}(t) \quad \forall t
$$

## 説明

一定の半径を持ち等速円運動をする場合を例として挙げることができる。この時、速度ベクトルと加速度ベクトルは常に直交する。

## 証明

[内積の性質](../255)により、

$$
\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = | \mathbf{r} |^{2} = c^{2}
$$

両辺を$t$で[微分すると](../1419)次を得る。

$$
2 \mathbf{r} \cdot \mathbf{r}^{\prime} = 0 \implies \mathbf{r} \cdot \mathbf{r}^{\prime} = 0
$$

したがって[二つのベクトルは直交する。](../1408)

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