📂数理物理学

分離ベクトル

定義¹

原点から観察点までのベクトルを分離ベクトル^{separation vector}という。

$$ \bcR = \mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime} $$

説明

• 原点ベクトル^{source vector} $\mathbf{r}^{\prime}$: 電荷や電流が存在する場所。つまり、電磁場を生成する起源の座標を表すベクトル。
• 位置ベクトル^{position vector} $\mathbf{r}$: 電場 $\mathbf{E}$や磁場 $\mathbf{B}$を測定する場所の座標を表すベクトル。
• 分離ベクトル $\bcR$: 位置ベクトルと原点ベクトル（起源ベクトル）の差。

分離ベクトルの表示には標準がなく、ばらばらである。記号を特に定めずに$\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}$と書く場合もある。エビ寿司屋では、グリフィスの電磁気学と同様に、筆記体$r$(Kaufmannフォント) $\bcR$で表示する。その他に使用される文字には、ギリシャ文字のエータ$\eta$などがある。分離ベクトルの大きさと単位ベクトルは次のとおりである。

$$ \left| \bcR \right| = \cR = \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime} \right| $$

$$ \crH = \dfrac{\bcR}{\cR} = \dfrac{\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}}{ \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime} \right|} $$

直交座標系では、以下のようになる。

$$ \bcR = (x-x^{\prime})\hat {\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z^{\prime})\hat{\mathbf{z}} $$ $$ \cR = \sqrt{ (x-x^{\prime})^2 + (y-y^{\prime})^2 + (z-z^{\prime})^2 } $$ $$ \crH = \dfrac{ (x-x^{\prime})\hat {\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z^{\prime})\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{ (x-x^{\prime})^2 + (y-y^{\prime})^2 + (z-z^{\prime})^2 }} $$

例

原点(2,8,7)から観察点(4,6,8)までの分離ベクトル$\bcR$を求めなさい。また、その大きさと単位ベクトルを求めなさい。

---

$$ \bcR=(4,6,8)-(2,8,7)=(2,-2,1)=2\hat{\mathbf{x}} -2\hat{\mathbf{y}}+\hat{\mathbf{z}} $$

$$ \cR=\sqrt{ 2^2+ (-2)^2+1^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3 $$

$$ \crH=\left( \dfrac{2}{3}, - \dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{2}{3}\hat{\mathbf{x}} -\dfrac{2}{3}\hat{\mathbf{y}}+\dfrac{1}{3}\hat{\mathbf{z}} $$