ディンキンのパイ-ラムダ定理 📂測度論

ディンキンのパイ-ラムダ定理

定理

パイシステム $\mathcal{P}$ がラムダシステム $\mathcal{L}$ の部分集合である場合、 $\mathcal{P} \subset \sigma ( \mathcal{P} ) \subset \mathcal{L}$ を満たすシグマフィールド $\sigma ( \mathcal{P} )$ が存在する。

$\sigma ( \mathcal{P} )$ は $\mathcal{P}$ の全ての要素を含む最小のシグマフィールドを示す。

説明

このステートメントだけ見ると非常に単純に見えるが、このような定理の証明はかなり長くて複雑だ。ここでパイシステム $\mathcal{P}$ とラムダシステム $\mathcal{L}$ の役割が何かを考えてみよう。

パイシステムとラムダシステム:
以下を満たす $\mathcal{P}$ を** $\pi$ -システム**という。 $A, B \in \mathcal{P} \implies A \cap B \in \mathcal{P}$
以下の条件を満たす $\mathcal{L}$ を** $\lambda$ -システム**という。
(i): $\emptyset \in \mathcal{L}$
(ii): $A \in \mathcal{L} \implies A^{c} \in \mathcal{L}$
(iii): 全ての $i \ne j$ に対して、 $\displaystyle A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ の時、 $\displaystyle \left\{ A_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L} \implies \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{L}$

測度論はその名の通り、何かを測る理論だから、どうしても可測空間を考えなくてはならないし、何をするにしてもシグマフィールドが必要だ。しかし、与えられた問題にぴったりのシグマフィールドを見つけるのは思ったほど簡単なことではないかもしれない。この問題のシグマフィールドがパイシステムより大きくなければならないがラムダシステムより大きくなってはいけないという制約がある場合、この定理を通して具体的なシグマフィールド $\sigma ( \mathcal{P} )$ を得ることができるだろう。

これはシグマフィールドを見つける難しい問題に直面した時、比較的作りやすいパイシステムから始めてアプローチすることができるという意味になる。ラムダシステムはこのような簡単なパイシステムを含むように構築されなければならず、この作業は通常、「ただ何かのシグマフィールドを見つけること」より具体的で簡単だ。