L1が収束するなら、マルチンゲールは閉じることができる
定理
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ とマルティンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ が与えられたとき、確率過程 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ が確率変数 $Y$ へ$\mathcal{L}_{1}$で収束すると、$\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\}$ は閉じ可能なマルティンゲールである。
説明
元は $X_{n}$ が $Y$ へ$\mathcal{L}_{1}$で収束し、そしてほぼ確実に $X_{\infty}$ へ収束するとしても、$Y$ と $X_{\infty}$ の間にどんな関係があるか保証できない。 $$ X_{n} \overset{\mathcal{L}_{1}}{\to} Y \land X_{n} \overset{\text{a.s.}}{\to} X_{\infty} \nRightarrow Y = X_{\infty} $$ 式で書き直すと上記のようになるが、証明過程でマルティンゲールの場合 $Y \overset{\text{a.s.}}{=} X_{\infty}$ が成立することが確認できる。
証明
Part 1. $E |X_{n}| \to E |Y|$
$\left\{ X_{n} \right\}$ が何らかの確率変数 $Y$ へ $\mathcal{L}_{1}$ で収束するとは、次のようである。 $$ \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega} | X_{n} - Y | dP = \lim_{n \to \infty} E | X_{n} - Y | = 0 $$ 一般性を失わずに、$\left| |a| - |b| \right| \le | a - b|$ なので $$ \begin{align*} \left| E | X_{n} | - E | Y | \right| \le & \left| E \left( | X_{n} | - | Y | \right| \right) \\ \le & E \left| |X_{n}| - |Y| \right| \\ \le & E \left| X_{n} - Y \right| \end{align*} $$ 即ち$n \to \infty$ の時 $E |X_{n}| \to E |Y|$ である。
Part 2. $Y \overset{\text{a.s.}} = X_{\infty} $
サブマルティンゲール収束定理: 確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ とサブマルティンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ が与えられているとする。
$\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty$ とすると、$X_{n}$ はほとんど確実にある確率変数 $X_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R}$ へ収束し$$E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty$$
$E |X_{n}| \to E |Y|$ なので $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty$ である。もちろん $E X_{n}^{+} \le E | X_{n} | < \infty$ であり、マルティンゲールはサブマルティンゲールであるから、サブマルティンゲール収束定理により、確率過程$\left\{ X_{n} \right\}$はほとんど確実にある確率変数 $X_{\infty}$ へ収束する。従って、$Y \overset{\text{a.s.}}{=} X_{\infty}$ が成立する。
Part 3. $E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right)= X_{n}$
一般性を失わずに $Z \ge 0 \land E Z = 0 \implies Z \le 0$ なので、$E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| = 0$ が成立することを示せば十分である。$m > n$ を考えると $$ \begin{align*} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| =& E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ =& E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - E \left( X_{m} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ =& E \left| E \left( X_{\infty} - X_{m} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ \le & E \left[ E \left( \left| X_{\infty} - X_{m} \right| | \mathcal{F}_{n} \right) \right] \\ =& E | X_{\infty} - X_{m} | \end{align*} $$ 両辺に $\displaystyle \lim_{m \to \infty}$ を適用すると第1部と第2部に従って、 $$ \begin{align*} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| &= \lim_{m \to \infty} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| \\ \le & \lim_{m \to \infty} E | X_{\infty} - X_{m} | \\ \le & 0 \end{align*} $$ したがって、$\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\}$ は閉じ可能なマルティンゲールであることが確認できる。
■